Jauge de Lorentz

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La jauge de Lorenz est une équation d'électromagnétisme. qui tient son nom du physicien danois Ludvig Lorenz (elle est souvent attribuée, à tort, au physicien Hendrik Lorentz probablement car celle-ci est invariante sous les transformations de Lorentz). L'introduction d'une équation de jauge permet de caractériser le potentiel vecteur qui n'est pas défini de manière unique à partir du champ magnétique. Cette jauge particulière s'est avérée pratique et permet une description totalement relativiste de l'électrodynamique : le potentiel scalaire et le potentiel vecteur seront les composantes du quadrivecteur potentiel.

L'équation est la suivante :

\vec{\nabla}.\vec{A} + \mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t} = 0

En statique elle s'écrit \scriptstyle \vec{\nabla}.\vec{A} = 0, on l'appelle alors jauge de Coulomb.

Son origine provient du fait que disposant des équations de Maxwell, on montre que la propagation des champs \scriptstyle \vec{E} et \scriptstyle \vec{B} dans le vide vérifie l'équation de d'Alembert (voir établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell).

Dans cette jauge, on peut montrer que le potentiel scalaire V vérifie lui aussi l'équation de d'Alembert.

Maxwell-Gauss dans le vide s'écrit : \scriptstyle \vec{\nabla}.\vec{E}=0

Or avec Maxwell-Faraday :

\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla} \times \vec{A})

d'où \scriptstyle \vec{\nabla} \times (\vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}) = \vec{0} ; donc \scriptstyle \vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} est un gradient et pour être cohérent avec l'expression en statique \scriptstyle \vec{E}=- \vec{\nabla}V, il faut :

\vec{E} = - \vec{\nabla}V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}

L'équation de Maxwell-Gauss devient alors :

\vec{\nabla}.(- \vec{\nabla}V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t})=0

donc \scriptstyle - \frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}.\vec{A})-\vec{\nabla}.(\vec{\nabla}V)=0

Il faut donc poser \scriptstyle \vec{\nabla}.\vec{A} = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} (c'est la jauge de Lorenz) pour avoir :

\vec{\nabla}^{2}V-\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}}=0

De plus, on constate que cette jauge permet aussi au champ \scriptstyle \vec{A} de vérifier l'équation de d'Alembert. Il suffit d'écrire que :

\overrightarrow\operatorname{rot}(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{A})=\overrightarrow\operatorname{grad}(\operatorname{div} \vec{A})- \vec{\nabla}^{2}\vec{A}

or \scriptstyle \overrightarrow\operatorname{rot}\vec{A}=\vec{B} alors avec Maxwell-Ampère dans le vide (donc le vecteur densité de courant \scriptstyle \vec{j} est nul) :

\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\overrightarrow\operatorname{grad}(\operatorname{div} \vec{A})- \vec{\nabla}^{2}\vec{A}

or on a toujours : \scriptstyle \vec{E} = - \vec{\nabla}V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} donc

\vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}}=\overrightarrow\operatorname{grad}(\vec{\nabla}.\vec{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t})

par conséquent avec la jauge de Lorenz \scriptstyle \vec{\nabla}.\vec{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} = 0, \scriptstyle \vec{A} vérifie l'équation de d'Alembert :

\vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}}=0

La jauge de Lorenz est donc la condition sur les potentiels (vecteur et scalaire) pour qu'ils se déplacent de la même manière que les champs \scriptstyle \vec{E} et \scriptstyle \vec{B}.

Voir aussi

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