- Intervalle (mathématiques)
-
En mathématiques, un intervalle (du latin intervallum) est étymologiquement un ensemble compris entre deux valeurs. Cette notion première s'est ensuite développée jusqu'à aboutir aux définitions suivantes.
Sommaire
Intervalles de R
Inventaire
Initialement, on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.
Cette définition regroupe les intervalles des types suivants (avec
):Les intervalles du premier type sont appelés intervalles ouverts; les seconds intervalles fermés, et les deux derniers intervalles semi-ouverts.
Cette notation est celle de la norme ISO 31, mais la notation anglaise utilise, pour les intervalles (semi-)ouverts, une parenthèse au lieu d'un crochet : les intervalles ci-dessus sont alors notés respectivement
À ces intervalles se sont ajoutés les ensembles des réels inférieurs à une valeur, ou supérieurs à une valeur. On ajoute donc les intervalles de ce type :
Auxquels se sont ajoutés, pour faire bonne mesure, les intervalles :
Définition générale
Un intervalle de
est une partie convexe de , c'est-à-dire un ensemble I de réels vérifiant la propriété suivante :autrement dit :
Union et intersection
Une intersection d'intervalles de
est toujours un intervalle. Par exemple,Une union d'intervalles de
n'est pas toujours un intervalle. Ce sera un intervalle si l'ensemble obtenu reste convexe (intuitivement s'il n'y a pas de "trou"). Dans le cas d'une union de deux intervalles, il suffit que l'intersection de ces intervalles soit non vide pour que leur réunion soit convexe. Par exemple,![]- \infty; 2] \cup [-3; 5[= ]- \infty; 5[](c/0cc3affccbcff9d7f0d6703fd4ba891c.png)
![[3; 5[ \cup ]- \infty; 2] = ]- \infty; 2] \cup [3; 5[](9/7b90ee82d0c295b6b6893e8891bbb35c.png)
(On préfère ranger les intervalles par ordre croissant de leurs bornes.)
Cette union ne forme pas un intervalle étant donné qu'il y a un trou entre 2 et 3.
Connexité et compacité
Les parties connexes de
(pour la topologie usuelle) sont exactement les intervalles.Les intervalles fermés c'est-à-dire contenant leurs bornes sont appelés segments. Ce sont les seuls intervalles compacts. Ce résultat est un cas particulier du théorème de Borel-Lebesgue.
Décomposition des ouverts de R
On montre que tout ouvert de
peut s'écrire comme une réunion dénombrable d'intervalles ouverts deux à deux disjoints.En analyse et en topologie
Les intervalles sont les parties de
les plus intéressantes dès que l'on parle de continuité et de dérivabilité.On trouve alors (entre autres) pour les fonctions réelles d'une variable réelle, des propriétés telles que :
- L'image par une fonction continue d'un intervalle de est un intervalle de
(théorème des valeurs intermédiaires) - Une fonction dérivable et à dérivée identiquement nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle.
- Une fonction dérivable est monotone sur un intervalle si et seulement si sa dérivée garde un signe constant sur cet intervalle
Remarque : La fonction
définie par 
est dérivable sur 
, et sa dérivée est identiquement nulle ; mais 
n'est pas constante. Ceci tient au fait que n'est pas un intervalle.Généralisation
Dans tout ensemble totalement ordonné (S,≤), on peut[1] définir les intervalles, de la même façon que dans
, comme les ensembles convexes (au sens de la définition générale énoncée plus haut). On retrouve parmi eux les types suivants (mais ce ne sont plus les seuls) :
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Les quatre premières notations généralisent respectivement l'intervalle ouvert, l'intervalle fermé, l'intervalle semi-ouvert à gauche et l'intervalle semi-ouvert à droite. La cinquième notation est un cas particulier de section commençante ouverte[2] ; les trois suivantes sont la section commençante fermée, la section finissante ouverte[3] et la section finissante fermée déterminées par a, respectivement.
Il est donc tout à fait possible de définir dans
l'intervalle des entiers relatifs compris entre -5 et 3 mais il serait dangereux de le noter ![\ [-5;3]](2/4d25b770fbfdb26c8d019ca5ef3bc7e7.png)
sans avertissement préalable à cause du risque de confusion avec la notation des intervalles de . On utilise parfois la notation avec des crochets blancs 〚 − 5;3〛.[réf. souhaitée]Une intersection d'intervalles est encore un intervalle.
Notes et références
- D. Guinin et B. Joppin, Algèbre et géométrie MPSI, Bréal, 2003 ISBN 9782749502182, Définition 27 p. 176
- Ce n'est qu'un cas particulier, car il peut exister des sections commençantes ouvertes dont a n'est pas la borne supérieure - c'est notamment le cas des coupures de Dedekind qui définissent un nombre réel et n'ont pas nécessairement de borne supérieure dans Q
- Remarque analogue : une section finissante n'a pas nécessairement une borne inférieure
Article connexe
![\{x\in\R ; a < x < b \} = ]a; b[](7/877f2f8ad71fa9ff6d812d19eea7c66d.png)
![\{x\in\R ; a \leq x \leq b \} = [a ; b]](2/9526aaf76940180a60078bf3171e0b1d.png)
![\{x\in\R ; a < x \leq b \} = ]a; b]](7/547df53d6381c09eafb2c2a23504383c.png)
![(a;b),\qquad[a;b]\qquad(a;b],\qquad[a;b)\ .](7/a6706a5a5f4e9d7fc08b63cfaf193ee1.png)
![\left\{x \in \mathbb{R} ; x < a\right\} = ]-\infty; a[](c/14c716578c7c4371a5da13b5dab7cfff.png)
![\left\{x \in \mathbb{R} ; x \leq a\right\} = ]-\infty; a]](9/8e9d411361f293b508ace8a7b4a1abbe.png)
![\left\{x \in \mathbb{R} ; x > a \right\} = ]a; +\infty[](e/9de4a2c6b5db629cdf713cc19f4fc67b.png)
![\left\{a\right\} = [a; a]](7/b67f826b2962ce098c323e97ab5c90db.png)
![\mathbb{R} = ]-\infty; +\infty[](9/37977eb14cc825eaacc738f4ac969458.png)
![\forall(x,y)\in I^2,\ (x\le y\Rightarrow[x,y]\subset I)](3/333fda2c66d3fe385bc07fb371d666dd.png)
![[-3; 5[ \cap ]- \infty; 2] = [-3; 2]](0/aa09968de2f938f00a23755ffcad7487.png)
![[3; 5[ \cap ]- \infty; 2] = \varnothing](1/b91a20c8fd7d3955bf6d7c1c06468994.png)
Wikimedia Foundation. 2010.
