Indétermination de la forme ∞/∞

En analyse, le calcul de limite mène parfois à la situation suivante : dans un quotient, le numérateur et le dénominateur ont tous les deux pour limite l'infini. Dans ce cas, aucune règle opératoire sur les limites ne s'applique, on dit que l'on a affaire à une indétermination de la forme $\scriptstyle\frac\infty\infty$ .

Par exemple:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}$

Pour lever l'indétermination, il existe de nombreux procédés, algébriques (factorisation) ou analytiques (utilisation de la dérivée, du théorème des gendarmes ou du développement limité).

Exemple

Pour lever la forme indéterminée ci-dessus, on peut par exemple poser une fonction telle que :

$\operatorname{\varphi}{(x)} =e^x-x$

En la dérivant, on obtient :

$\operatorname{\varphi^\prime}{(x)} =e^x-1$

Le tableau des variations de cette fonction nous apprend qu'elle est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$ , or $~\operatorname{\varphi}{(0)} =1$ , donc :

$\operatorname{\varphi}{(x)} \ge 0$

$e^x -x \ge 0$

$e^x \ge x$

On peut donc appliquer le théorème des gendarmes :

$\left. \begin{matrix} \displaystyle{\frac{e^x}{x} \ge x} \\ \lim_{x \to +\infty} x=+\infty \end{matrix} \right\} \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty$

Voir aussi

Indétermination de la forme 0/0

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Catégorie : Analyse réelle

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