Indétermination de la forme ∞/∞

En analyse, le calcul de limite mène parfois à la situation suivante : dans un quotient, le numérateur et le dénominateur ont tous les deux pour limite l'infini. Dans ce cas, aucune règle opératoire sur les limites ne s'applique, on dit que l'on a affaire à une indétermination de la forme $\scriptstyle\frac\infty\infty$ .

Par exemple:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}$

Pour lever l'indétermination, il existe de nombreux procédés, algébriques (factorisation) ou analytiques (utilisation de la dérivée, du théorème des gendarmes ou du développement limité).

Exemple

Pour lever la forme indéterminée ci-dessus, on peut par exemple poser une fonction telle que :

$\operatorname{\varphi}{(x)} =e^x-x$

En la dérivant, on obtient :

$\operatorname{\varphi^\prime}{(x)} =e^x-1$

Le tableau des variations de cette fonction nous apprend qu'elle est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$ , or $~\operatorname{\varphi}{(0)} =1$ , donc :

$\operatorname{\varphi}{(x)} \ge 0$

$e^x -x \ge 0$

$e^x \ge x$

On peut donc appliquer le théorème des gendarmes :

$\left. \begin{matrix} \displaystyle{\frac{e^x}{x} \ge x} \\ \lim_{x \to +\infty} x=+\infty \end{matrix} \right\} \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty$

Voir aussi

Indétermination de la forme 0/0

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Ind%C3%A9termination de la forme %E2%88%9E/%E2%88%9E ».

Catégorie : Analyse réelle

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Indétermination de la forme ∞/∞ de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

Indetermination de la forme 0/0 — Indétermination de la forme 0/0 En mathématiques, en analyse réelle, le calcul de limite mène parfois à la situation suivante : dans un quotient, le numérateur et le dénominateur ont tous les deux pour limite 0. Dans ce cas, aucune règle… … Wikipédia en Français
Indétermination De La Forme 0/0 — En mathématiques, en analyse réelle, le calcul de limite mène parfois à la situation suivante : dans un quotient, le numérateur et le dénominateur ont tous les deux pour limite 0. Dans ce cas, aucune règle opératoire sur les limites ne s… … Wikipédia en Français
Indétermination de la forme 0/0 — En mathématiques, en analyse réelle, le calcul de limite mène parfois à la situation suivante : dans un quotient, le numérateur et le dénominateur ont tous les deux pour limite 0. Dans ce cas, aucune règle opératoire sur les limites ne s… … Wikipédia en Français
Indetermination de la forme ∞/∞ — Indétermination de la forme ∞/∞ En analyse, le calcul de limite mène parfois à la situation suivante : dans un quotient, le numérateur et le dénominateur ont tous les deux pour limite l infini. Dans ce cas, aucune règle opératoire sur les… … Wikipédia en Français
Indétermination De La Forme ∞/∞ — En analyse, le calcul de limite mène parfois à la situation suivante : dans un quotient, le numérateur et le dénominateur ont tous les deux pour limite l infini. Dans ce cas, aucune règle opératoire sur les limites ne s applique, on dit que… … Wikipédia en Français
Indetermination de la forme ∞ - ∞ — Indétermination de la forme ∞ ∞ En analyse, le calcul d une limite peut arriver à une soustraction entre deux termes valant l infini. Dans ce cas, aucune règle opératoire sur les limites ne s applique, on dit que l on a affaire à une… … Wikipédia en Français
Indétermination De La Forme ∞ - ∞ — En analyse, le calcul d une limite peut arriver à une soustraction entre deux termes valant l infini. Dans ce cas, aucune règle opératoire sur les limites ne s applique, on dit que l on a affaire à une indétermination de la forme . Par… … Wikipédia en Français
Indétermination de la forme ∞ - ∞ — En analyse, le calcul d une limite peut arriver à une soustraction entre deux termes valant l infini. Dans ce cas, aucune règle opératoire sur les limites ne s applique, on dit que l on a affaire à une indétermination de la forme . Par… … Wikipédia en Français
Indétermination de la forme ∞ — En analyse, le calcul d une limite peut arriver à une soustraction entre deux termes valant l infini. Dans ce cas, aucune règle opératoire sur les limites ne s applique, on dit que l on a affaire à une indétermination de la forme . Par… … Wikipédia en Français
Forme indéterminée — Limite (mathématiques) En mathématiques, rechercher la limite d une suite ou d une fonction, c est déterminer si cette suite ou cette fonction s approche d une valeur particulière lorsque la variable prend des valeurs extrêmes. Dans cette… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Indétermination de la forme ∞/∞