Algèbre Graduée

Algèbre Graduée

Algèbre graduée

En mathématiques, en algèbre linéaire, on appelle algèbre graduée une algèbre (ou un anneau commutatif) dotée d'une structure supplémentaire, appelée graduation.

Définition

Soit K un corps (ou éventuellement un anneau commutatif). Une algèbre A est dite graduée (parfois \N-graduée) s'il existe une famille de sous-espaces vectoriels (A_i)_{i\in\N} de A tels que

  • A = \bigoplus_{i\in\N}A_i
  • \forall i,j\in\N,\;A_iA_j\subset A_{i+j}.

Les éléments de Ai sont appelés homogènes de degré i. Un idéal est dit homogène si, pour chaque élément a qu'il contient, il contient également les parties homogènes de a.

Tout anneau (non gradué) A peut être doté d'une graduation en posant A0 = A, et Ai = 0 pour tout i > 0. Cette structure est appelée graduation triviale de A.

Exemples

  • Les anneaux de polynômes en plusieurs indéterminées A[X1,X2,...], pour lesquels les éléments homogènes (de degré k) sont des combinaisons linéaires de monômes X_1^{n_1} X_2^{n_2}... de même degré total k.
  • L'algèbre tensorielle T(V) sur un espace vectoriel V, où les éléments homogènes de degré n sont les tenseurs de la forme v_1\otimes v_2\otimes\dots\otimes v_n.
  • L'algèbre symétrique S(V) et l'algèbre extérieure Λ(V) sont des algèbres graduées. Plus généralement, si un idéal I d'une algèbre graduée A est gradué (i.e. I=\bigoplus_{i\in\N}A_i\cap I), le quotient A / I est également gradué.
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