Impredicativity

L'imprédicativité est un terme du domaine des mathématiques, de la logique, de la théorie des ensembles et de la théorie des types.

Définitions

On dit qu'il y a imprédicativité « lorsqu'un objet parle de lui-même ». Une définition est imprédicative si l'objet défini intervient dans la définition elle-même.

Le paradoxe de Russell est un exemple célèbre d'imprédicativité : car il introduit « l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes » (par « contiennent », on comprendra « éléments de »). Soit E cet ensemble. Premier cas : supposons (hypothèse) que E se contient lui-même. Dans ce cas, par « application de la définition », E « n'appartient pas à l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes ». Et par suite E n'appartient pas à E. Ce qui contredit notre hypothèse. Ce cas, E appartient à E est donc à éliminer. Deuxième cas : E ne se contient pas lui-même. Par application de la définition, E qui ne se contient pas lui-même, appartient à E, l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. Là encore on aboutit à une contradiction.

En réaction à ces paradoxes Henri Poincaré et Bertrand Russell ont énoncé le « principe du cercle vicieux » ou de la pétition de principe.

Rejeter des objets définis de manière imprédicative, tout en acceptant les entiers naturels (un entier naturel est soit zéro, soit le successeur d'un entier naturel), a conduit à la position connue sous le nom de prédicativisme, défendue par Poincaré et Hermann Weyl dans Das Kontinuum, Poincaré et Weyl défendent que les définitions imprédicatives ne sont problématiques que lorsque les ensembles mis en cause sont infinis.

Frank Ramsey avance que certaines définitions imprédicatives peuvent être sans danger : par exemple la définition de « la plus grande personne de la pièce » est imprédicative car elle dépend d'un ensemble d'objets dont le résultat fait partie. « La plus grande borne inférieure » en est un autre exemple.

Le système F est l'archétype des systèmes imprédicatifs, en effet l'expression ∀α.B définit un type par quantification sur tous les types α. Il a cependant été montré cohérent.

John Burgess (2005) discute en détail des théories prédicatives et imprédicatives dans les contextes de la logique de Frege, de l'arithmétique de Peano, de l'arithmétique du second ordre, et de la théorie des ensembles.

Bibliographie

• (en) PlanetMath article on predicativism
• (en) John Burgess, Fixing Frege, Princeton Univ. Press, 2005.
• Solomon Feferman, « Predicativity » in The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford University Press, 2005, p. 590–624.
• (en) Stephen C. Kleene 1952 (1971 edition), Introduction to Metamathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY (ISBN 0 7204 2103 9); voir en particulier le §11 : « The Paradoxes »' (p. 36–40) et le §12 : « First inferences from the paradoxes »; Imprecative definition (p. 42).
• (en) Hans Reichenbach, Elements of Symbolic Logic, Dover Publications, Inc., NY, 1947 (ISBN 0-486-24004-5); voir le §40 : « The antinomies and the theory of types », p. 218

Voir aussi

• Auto-référence

Sources

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Impredicativity ».