Identités hypergéométriques

Les identités hypergéométriques sont des résultats sur des sommes de termes d'une série hypergéométrique. Ces identités apparaissent fréquemment dans des problèmes de combinatoire et d'analyse d'algorithme. Les premières identités ont été trouvées à la main par des mathématiciens brillants comme Carl Friedrich Gauss ou Ernst Kummer. Maintenant, l'objectif est d'obtenir des algorithmes qui automatisent les démonstrations de ces inégalités.

La liste des identités hypergéométriques est parfois appelée liste de Bailey suite à l'ouvrage de Bailey^[1].

Parmi les identités hypergéométriques les plus classiques

$\sum_{i=0}^{n} {n \choose i} = 2^{n}, \qquad \sum_{i=0}^{n} {n \choose i}^2 = {2n \choose n} \qquad \mbox{ et } \qquad\sum_{k} k {n \choose k} = n2^{n-1}.$

Automatisation de la preuve

La preuve automatisée repose sur deux étapes :

trouver une expression simple de la somme hypergéométrique, dans le meilleur des cas une forme close ;
montrer par A=B que cette expression est bien égale à la somme initiale.

Pour chaque type de somme hypergéométrique, il existe de nombreuses méthodes pour trouver une expression simple. Ces méthodes offrent aussi une preuve de l'égalité. On peut nommer :

pour les sommes définies : la méthode de sœur Celine Fasenmyer, l'algorithme de Zeilberger
pour les sommes indéfinies : l'algorithme de Gosper.

Les méthodes employées font souvent appel à des résultats du calcul formel.

Liens externes

(en) Marko Petkovšek, Herbert Wilf et Doron Zeilberger, A = B. Il s'agit d'un ouvrage explicitant un algorithme pour trouver une relation de récurrence à partir d'une identité. Faisant appel à un logiciel de calcul formel, tels Maple et Mathematica, l'algorithme a mis fin au besoin de tenir un catalogue d'identités et de relations de récurrence.
Sur l'algorithme de sœur Céline [pdf]
Exemples de fonctions spéciales

Référence

↑ W. N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.

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Catégories : Analyse | Fonction hypergéométrique | Identité mathématique

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