IEEE-754

L’IEEE 754 est un standard pour la représentation des nombres à virgule flottante en binaire. Il est le plus employé actuellement pour le calcul des nombres à virgule flottante dans le domaine informatique, avec les CPU et les FPU. Le standard définit les formats de représentation des nombres à virgule flottante (signe, mantisse, exposant, nombres dénormalisés) et valeurs spéciales (infinis et NaN), en même temps qu’un ensemble d’opérations sur les nombres flottants. Il décrit aussi quatre modes d'arrondi et cinq exceptions (comprenant les conditions dans lesquelles une exception se produit, et ce qu'il se passe dans ce cas).

Les quatre modes d'arrondi :

• Vers moins l'infini
• Vers plus l'infini
• Vers zéro
• Au plus proche

La norme IEEE 754 définit 4 formats pour représenter des nombres à virgule flottante :

• simple précision (32 bits : 1 bit de signe, 8 bits d'exposant (-126 à 127), 23 bits de mantisse),
• simple précision étendue (≥ 43 bits, peu utilisé),
• double précision (64 bits : 1 bit de signe, 11 bits d'exposant (-1022 à 1023), 52 bits de mantisse),
• double précision étendue (≥ 79 bits, souvent implémenté avec 80 bits : 1 bit de signe, 15 bits d'exposant (-16382 à 16383), 64 bits de mantisse).

Par exemple, dans le langage C, le compilateur gcc pour les architectures compatible Intel 32 bits utilise le format simple précision pour les variables de type float, double précision pour les variables de type double, et double précision étendue pour les variables de type long double.

Le titre complet du standard est IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-1985) (standard IEEE pour l'arithmétique binaire en virgule flottante), et est aussi connu sous le nom IEC 60559:1989, Binary floating-point arithmetic for microprocessor systems. [1]

Sommaire 1 Format d'un nombre en virgule flottante 1.1 Conventions utilisées dans l'article 1.2 Format général 1.2.1 Décalage de l'exposant 1.2.2 Exceptions 1.3 Format simple précision (32 bits) 1.4 Un exemple plus complexe 1.5 Double-précision 64 bits 1.6 Comparer des nombres flottants 1.7 Arrondir les nombres flottants 2 Révision du standard 3 Notes et références 4 Voir aussi 5 Liens externes 6 Bibliographie

Format d'un nombre en virgule flottante

Conventions utilisées dans l'article

Dans un mot de longueur W, les bits sont indexés de 0 à W-1, inclus. Le bit 0 est placé à droite, et il représente le bit de poids faible (c’est-à-dire celui qui va provoquer la plus petite variation s’il est modifié).

Format général

Un nombre flottant est formé de trois éléments : la mantisse, l'exposant et le signe. Le bit de poids fort est le bit de signe. Cela signifie que si ce bit est à 1, le nombre est négatif, et s’il est à 0, le nombre est positif. Les e bits suivants représentent l'exposant décalé, et les m bits suivants (m bits de poids faible) représentent la mantisse.

Signe	Exposant	Mantisse
(1 bit)	(e bits)	(m bits)

Décalage de l'exposant

L'exposant est décalé de 2^e-1 - 1 (e représente le nombre de bits de l'exposant). Ce décalage est utile car l'exposant peut être positif ou négatif. Cependant, la représentation habituelle des nombres signés (complément à 2) rendrait la comparaison entre les nombres flottants difficile. Pour régler ce problème, l'exposant est décalé, afin de le stocker sous forme d'un nombre non signé.

L'interprétation d'un nombre (autre qu'infini) est donc : valeur = signe × 1,mantisse × 2^{exposant − (2e−1−1)}, avec signe = ±1.

Exceptions

Le bit de poids fort de la mantisse est déterminé par la valeur de l'exposant. Si l'exposant est différent de 0 et de 2^e − 1, le bit de poids fort de la mantisse est 1, et le nombre est dit "normalisé". Si l'exposant est nul, le bit de poids fort de la mantisse est nul, et le nombre est 'dé-normalisé'. Il y a trois cas particuliers :

• si l'exposant et la mantisse sont tous deux nuls, le nombre est ±0 (selon le bit de signe)
• si l'exposant est égal à 2^e − 1, et si la mantisse est nulle, le nombre est ±infini (selon le bit de signe)
• si l'exposant est égal à 2^e − 1, mais que la mantisse n'est pas nulle, le nombre est NaN (not a number : pas un nombre).

Nous pouvons le résumer ainsi :

Type	Exposant	Mantisse
Zéros	0	0
Nombres dénormalisés	0	différente de 0
Nombres normalisés	1 à 2e − 2	quelconque
Infinis	2e − 1	0
NaNs	2e − 1	différente de 0

Format simple précision (32 bits)

Un nombre flottant simple précision est stocké dans un mot de 32 bit : 1 bit de signe, 8 bits pour l'exposant et 23 pour la mantisse.

L'exposant est décalé de 2^{8 − 1} − 1 = 127 dans ce cas. L'exposant va donc de -126 à +127. Un exposant de -127 serait décalé vers la valeur 0, mais celle-ci est réservée pour 0 et les nombres dé-normalisés. Un exposant de 128 serait décalé vers 255, qui est réservé pour coder les infinis, et les NaNs. (voir le tableau précédent)

Pour les nombres normalisés (la plupart), Exp est l'exposant décalé et Fraction est la partie fractionnelle de la partie significative. Le nombre a la valeur suivante :

v = s × 2^e × m

Avec

s = +1 (nombre positif) lorsque le bit de signe est nul.

s = −1 (nombre négatif) lorsque le bit de signe est à 1.

e = Exp − 127 (en d'autres mots, l'exposant est stocké avec 127 ajouté, autrement dit, "décalé de 127")

m = 1,fraction (en binaire). D'où 1 ≤ m < 2.

Dans l'exemple précédent, le signe est nul, l'exposant est -3, et la partie significative est 1,01 (ce qui donne 1 × 2⁻⁰ + 0 × 2⁻¹ + 1 × 2⁻² = 1,25 en décimal). Le nombre représenté est donc +1,25 × 2⁻³, ce qui donne +0,15625.

Remarques :

• Les nombres dénormalisés suivent le même principe, sauf que e = −126 et m=0,fraction. (Attention: e n'est pas -127 mais -126, ceci afin de garantir la continuité de cette représentation avec la représentation normalisée, puisque m=0,fraction et non plus m=1,fraction.)
• −126 est la plus petite valeur possible pour l'exposant d'un nombre normalisé.
• Il y a deux 0 : +0 et −0 selon la valeur de S
• Il y a deux infinis : +∞ et −∞ selon la valeur de S
• Les NaNs peuvent avoir un signe et une partie significative, mais ils n'ont pas de sens, sauf pour la correction d'erreurs.
• les NaNs et les infinis n'ont que des 1 dans le champ "exposant".
• Le plus petit nombre positif différent de zéro, et le plus grand nombre négatif différent de zéro (représentés par une valeur dénormalisée avec tous les bits du champ exposant à 0 et la valeur binaire 1 dans le champ Fraction) sont :

  ±2⁻¹⁴⁹ ≈ ±1,4012985×10⁻⁴⁵

• Le plus petit nombre positif normalisé différent de zéro, et le plus grand nombre négatif normalisé différent de zéro (représentés par la valeur binaire 1 dans le champ Exp, et 0 dans le champ Fraction) sont :

  ±2⁻¹²⁶ ≈ ±1,175494351×10⁻³⁸

• Le plus grand nombre positif fini, et le plus petit nombre négatif fini (représenté par la valeur 254 dans le champ Exp et tous les bits à 1 dans le champ Fraction) sont :

  ±(2²⁴-1) × 2¹⁰⁴ ≈ ±3,4028235×10³⁸

Voici un tableau résumant la partie précédente, avec des exemples de nombres 32 bits simple précision.

Type	Exposant	Mantisse	Valeur
Zéro	0000 0000	000 0000 0000 0000 0000 0000	0,0
1	0111 1111	000 0000 0000 0000 0000 0000	1,0
Nombre dénormalisé	0000 0000	100 0000 0000 0000 0000 0000	5,9×10−39
Grand nombre normalisé	1111 1110	111 1111 1111 1111 1111 1111	3,4×1038
Petit nombre normalisé	0000 0001	000 0000 0000 0000 0000 0000	1,18×10−38
Infini	1111 1111	000 0000 0000 0000 0000 0000	Infini
NaN	1111 1111	010 0000 0000 0000 0000 0000	NaN

Un exemple plus complexe

Codons le nombre décimal −118,625 en utilisant le mécanisme IEEE 754.

1. Premièrement, nous avons besoin du signe, de l'exposant et de la partie fractionnaire. C'est un nombre négatif, le signe est donc "1".
2. Puis nous écrivons le nombre (sans le signe) en binaire. Nous obtenons 1110110,101.
3. Ensuite, nous décalons la virgule vers la gauche, de façon à ne laisser qu'un 1 sur sa gauche : 1110110,101 (bin) = 1,110110101 (bin) × 2⁶. C'est un nombre flottant normalisé : la mantisse est la partie à droite de la virgule, remplie de 0 vers la droite pour obtenir 23 bits. Cela donne 110 1101 0100 0000 0000 0000 (on omet le 1 avant la virgule, qui est implicite).
4. L'exposant est égal à 6, et nous devons le convertir en binaire et le décaler. Pour le format 32-bit IEEE 754, le décalage est 2^8-1-1 = 127. Donc 6 + 127 = 133 (dec) = 1000 0101 (bin).

On a donc −118,625 (dec) = 1100 0010 1110 1101 0100 0000 0000 0000 (float) = C2ED4000 (hexa)

Double-précision 64 bits

Le format double précision est identique au simple précision, mis à part le fait que les champs sont plus grands. En effet, il possède 52 bits de mantisse, et 11 bits d'exposant.

La mantisse est très élargie, alors que l'exposant est peu élargi. Ceci est dû au fait que, selon les créateurs du standard, la précision est plus importante que l'amplitude.

Les NaNs et les infinis sont représentés en mettant tous les bits de l'exposant à 1 (2047).

Pour les nombres normalisés, le décalage de l'exposant est +1023. Pour les nombres dénormalisés, l'exposant est −1022 (l'exposant minimum pour un nombre normalisé. ce n'est pas −1023 car les nombres normalisés ont un 1 avant la virgule, et les nombres dénormalisés n'en ont pas. Comme précédemment, zéro et l'infini sont signés.

Remarques :

• Le plus petit nombre positif différent de zéro, et le plus grand nombre négatif différent de zéro (représentés par une valeur dénormalisée avec tous les bits du champ Exposant à 0 et la valeur binaire 1 dans le champ Fraction) sont :

  ±2⁻¹⁰⁷⁴ ≈ ±5×10⁻³²⁴

• Le plus petit nombre positif normalisé différent de zéro, et le plus grand nombre négatif normalisé différent de zéro (représentés par la valeur binaire 1 dans le champ Exp, et 0 dans le champ Fraction sont :

  ±2⁻¹⁰²² ≈ ±2,2250738585072020×10⁻³⁰⁸

• Le plus grand nombre positif fini, et le plus petit nombre négatif fini (représenté par la valeur 2046 dans le champ Exp et tous les bits à 1 dans le champ Fraction) sont :

  ±(2¹⁰²⁴ − 2⁹⁷¹) ≈ ±1,7976931348623157×10³⁰⁸

Comparer des nombres flottants

Il est généralement préférable de comparer des nombres flottants en utilisant les instructions de calcul flottant. Cependant, cette représentation rend les comparaisons de certains sous-ensembles possible octet par octet, s’ils ont le même ordre d'octets et le même signe, et que les NaNs sont exclus.

Par exemple, pour deux nombres flottants positifs a et b, la comparaison entre a et b (>, <, ou ==) donne les mêmes résultats que la comparaison de deux nombres signés (ou non signés) avec les mêmes bits que a et b. En d'autres mots, deux nombres flottants positifs (qui ne sont pas des NaN) peuvent être comparés avec une comparaison binaire signée (ou non signée). À cause du problème d'ordre des octets, cette comparaison ne peut pas être utilisée dans du code portable.

Arrondir les nombres flottants

Le standard IEEE spécifie quatre modes d'arrondi.

• Au plus près Si le nombre est entre deux, il est arrondi à la valeur la plus proche avec un bit de poids faible à 0. C'est le mode d'arrondi par défaut.
• Vers zéro
• Vers plus l'infini
• Vers moins l'infini

Révision du standard

En juin 2008, une révision majeure des normes IEEE 754 et IEEE 854 a été approuvée par l'IEEE. Voir : IEEE 754r (en)^[1][2].

Notes et références

Voir aussi

• Intel 8087, premiers coprocesseurs mathématiques Intel 1980 et première implémentation.
• Virgule flottante, représentation des nombres la plus souvent utilisée dans un ordinateur.
• NaN, « Not a Number », en français « pas un nombre » ; résultat d'une opération arithmétique invalide.
• IEEE 754-1985 (en), standard pour la représentation des nombres à virgule flottante en binaire.
• IEEE 754-2008 (en), révision majeure de la norme IEEE 754-1985 et groupe de travail IEEE 754r.
• -0 (nombre) (en) zéro négatif.

Liens externes

• Deterministic cross-platform floating point arithmetics : Nombreuses informations sur les différentes implémentations d'IEEE 754 sur diverses plateformes

Bibliographie

Voir aussi la liste d'articles (en anglais) sur la page du groupe chargé de la révision du standard.

• IEEE, Standard IEEE-754
• David Goldberg, What Every Computer Scientist Should Know about Floating-Point Arithmetic