Formule Du Binôme Négatif

Formule du binôme négatif

La formule du binôme négatif permet de développer une puissance entière strictement négative d'une somme de deux termes, et apparaît comme un cas particulier de la formule du binôme généralisé.

Énoncé

Nous avons :

$\forall x, |x|<1, \forall r\in \mathbb N, (1-x)^{-(r+1)}=\frac{1}{(1-x)^{r+1}}=\sum_{k=r}^{+\infty} {k \choose r} x^{k-r}$

où ${k \choose r}$ est un coefficient binomial.

Soit encore :

$(1-x)^{-r}=\sum_{k=0}^{+ \infty}{-r \choose k}(-x)^k$

où ${-r \choose k}$ est un coefficient binomial généralisé aux nombres négatifs selon la formule

${-r \choose k} = {r+k-1 \choose k}(-1)^k = {r+k-1\choose r-1} (-1)^k$ .

Démonstration

La formule se montre par récurrence sur r en utilisant les règles de dérivation des séries entières.

Pour r = 0, on reconnaît $\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{+\infty} x^k$ (somme d'une série géométrique de raison x)

Supposons la formule vraie au rang r :

$\frac{1}{(1-x)^{r+1}}=\sum_{k=r}^{+\infty} {k \choose r} x^{k-r}$

et dérivons-la. On obtient :

$\frac{r+1}{(1-x)^{r+2}}=\sum_{k=r+1}^{+\infty} (k-r) {k \choose r} x^{k-r-1}$

ce qui donne le résultat voulu au rang suivant compte tenu du fait que

${k-r \over r+1} {k \choose r} = {k \choose r+1}$

Voyez également

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Catégorie : Analyse combinatoire

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