- Formule de Wald
-
Sommaire
Théorème
Soit
une suite de variables aléatoires. Soit 
une variable aléatoire à valeurs dans 
On pose
Formule de Wald — On suppose que :
- est une suite de variables aléatoires de même loi, indépendantes ,
- les
et sont intégrables ,
et on suppose que l'une des deux conditions suivantes est remplie :
- est un temps d'arrêt adapté à la suite
. En d'autres termes l'événement 
est entièrement déterminé par 
ou bien :
- est indépendant de la suite .
Alors on a :
![\mathbb{E}\left[S_N\right]=\mathbb{E}\left[N\right]\mathbb{E}\left[X_1\right].](8/f38e119affddc06b076c37e5732f40d0.png)
Formulation générale
On peut englober les deux hypothèses alternatives ci-dessus, ainsi que l'indépendance de la suite
dans la formulation suivante :Hypothèse — Il existe une filtration
telle que :- est un temps d'arrêt adapté à la filtration
; - la suite
est adaptée à la filtration ; - pour tout
la tribu 
et la variable 
sont indépendants.
Le premier jeu d'hypothèses découle alors du choix
et le second jeu d'hypothèses découle du choix 
Encore plus généralement, les deux formules de Wald ci-dessus sont des cas particuliers de la formule d'arrêt pour les martingales.
DémonstrationLa variable aléatoire
est intégrable. En effet
Ainsi, pour
en vertu de l'hypothèse d'indépendance entre la tribu 
et la variable 
![\mathbb{E}\left[|X_n|\ 1\!\!1_{1\le n\le N}\right]\,=\,\mathbb{E}\left[|X_n|\right]\,\mathbb{E}\left[1\!\!1_{n\le N}\right]\,=\,\mathbb{E}\left[|X_1|\right]\,\mathbb{P}\left(n\le N\right).](0/5106fd413d5b760c03b2fc07993223ac.png)
Or
est intégrable si et seulement si la série de terme général 
est convergente (et la somme de cette série est ![\scriptstyle\ \mathbb{E}[N]\](f/08f47c6184612f03dd06a435c04e099d.png)
). En vertu du théorème de Beppo-Levi, et de l'hypothèse d'intégrabilité faite sur N, la variable Z est intégrable, et on peut donc s'en servir comme majorant pour appliquer le théorème de convergence dominée ou le théorème de Fubini à 
:![\begin{align}
\mathbb{E}\left[S_{N}\right]&=\mathbb{E}\left[\sum_{n\ge1}\,X_n\ 1\!\!1_{n\le N}\right]
\\&=\,\sum_{n\ge1}\,\mathbb{E}\left[X_n\ 1\!\!1_{n\le N}\right]
\\&=\,\sum_{n\ge1}\,\mathbb{E}\left[X_n\right]\,\mathbb{E}\left[1\!\!1_{n\le N}\right]
\\&=\,\mathbb{E}\left[X_1\right]\,\sum_{n\ge1}\,\mathbb{P}\left(n\le N\right)
\\&=\,\mathbb{E}\left[X_1\right]\,\mathbb{E}\left[N\right].
\end{align}](1/081647fec74eb344392e10725959ad8b.png)
A voir
Pages liées
Bibliographie
- Abraham Wald, « On Cumulative Sums of Random Variables », dans The Annals of Mathematical Statistics, vol. 15, no 3, septembre 1944, p. 283–296 [texte intégral, lien DOI]
- (en) [ Williams], Probability With Martingales, Cambridge University Press, 14 février 1991, 272 p. (ISBN 978-0521406055)
Portail des probabilités et des statistiques
Catégories :- Théorème de mathématiques
- Probabilités
Wikimedia Foundation. 2010.
