- Formule de Bethe
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La formule de Bethe décrit la perte d'énergie de particules chargées rapides (protons, particules alpha, ions atomiques mais pas électrons) en traversant la matière (ou le pouvoir d'arrêt du matériau). La version non-relativiste fut créée par Hans Bethe en 1930[1], et la version relativiste, aussi par Bethe, en 1932[2].
Sommaire
La formule
La version relativiste de la formule s'écrit :
où
β = v / c v vitesse de la particule E énergie de la particule x longueur du chemin c vitesse de la lumière 
charge de la particule e charge élémentaire me masse au repos de l’électron n densité numérique des électrons du matériau I potentiel d’excitation moyen du matériau Ici, la densité numérique des électrons du matériau peut être calculée en utilisant
, où ρ est la densité du matériau, Z et A le nombre atomique et nombre de masse, respectivement, et NA le nombre d'Avogadro.
Pouvoir d'arrêt d'aluminium pour protons en fonction de l'énergie des protons, et la formule de Bethe
Dans l'image ci-contre, les petits cercles sont des résultats expérimentaux obtenus des auteurs variés (prises de http://www.exphys.uni-linz.ac.at/Stopping/); la courbe est la formule de Bethe. Il est évident que la formule de Bethe est en accord excellent avec les expériences à hautes énergies. Sous 0.3 MeV seulement, la courbe est trop basse; ici, des corrections sont nécessaires (voir plus bas).
La formule de Bethe est souvent appelée formule de Bethe-Bloch, même lorsqu'elle n'inclut pas l'approximation de Bloch (I=(10ev)×Z).
Pour les petites énergies, la formule de Bethe peut être simplifiée à
![- \frac{dE}{dx} = \frac{4 \pi nz^2}{m_e v^2}
\cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2
\cdot \left[\ln \left(\frac{2m_e v^2 }{I}\right)\right]](4/fc40e4007e4a303f45b9e5acd2b85e41.png)
.
Par conséquent, pour énergie basse, le pouvoir d'arrêt selon la formule de Bethe décroît à peu près comme 1 / v2 quand l'énergie croît. Il arrive à un minimum, approximativement à E = 3Mc2, où M est la masse de la particule (pour les protons, cela serait à 3000 MeV). Pour les énergies très relativistes,
, la perte d'énergie croît de nouveau, d'une manière relativiste.La formule de Bethe est valable seulement pour les énergies assez grandes à ce que la particule chargée (le ion) ne porte pas des électrons atomiques avec elle. À des énergies plus petites, si l'ion porte des électrons, sa charge est réduite effectivement, est par conséquent, le pouvoir d'arrêt est réduit aussi. Mais même si la particule est complètement ionisée, on a besoin des corrections:
Corrections de la formule de Bethe
Bethe a trouvé sa formule en utilisant un développement perturbatif en mécanique quantique. Par conséquent, son résultat est proportionnel à la charge z de la particule en carré. La formule peut être améliorée en considérant des corrections correspondant à des puissances plus élevées de z. Elles sont: l'effet Barkas-Andersen (proportionnel à z3, d'après Walter H. Barkas et Hans Henrik Andersen), et la correction Bloch (proportionnel à z4). En outre, il est nécessaire de considérer que les électrons atomiques de la matière ne sont pas stationnaires ("shell correction").
Ces corrections ont été introduites, par exemple, dans les programmes PSTAR et ASTAR qu'on utilise pour calculer le pouvoir d'arrêt des protons et des particules alpha (www.physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/programs.html). Les corrections sont larges à basse énergie, et elles deviennent de plus en plus petites lorsque l'énergie croît.
Pour les énergies très grandes, il est nécessaire d'ajouter[3] la correction densité de Fermi.
Voir aussi
Notes et référence générale
- Article original: Hans Bethe, Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie, "Annalen der Physik", 397 (1930) 325 - 400
- Sigmund, Peter (2006). Particle Radiation and Radiation Effects. Springer Series in Solid State Sciences, 151. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 3-540-31713-9
- ICRU Report 49, International Commission on Radiation Units and Measurements, Bethesda, MD, USA (1993)
Liens externes
- Passage des particules chargées par la matière (en anglais)
- Pouvoir d'arrêt pour protons et particules alpha (en anglais)
- Pouvoir d'arrêt: dates et graphiques (en anglais)
![- \frac{dE}{dx} = \frac{4 \pi}{m_e c^2} \cdot \frac{nz^2}{\beta^2} \cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \cdot \left[\ln \left(\frac{2m_e c^2 \beta^2}{I \cdot (1-\beta^2)}\right) - \beta^2\right]](d/c9de60c59258592fec45758e8e28360f.png)
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