- Forme symplectique
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En géométrie différentielle, sur un fibré vectoriel réel E → P , une forme symplectique ω est la donnée d'une famille de formes bilinéaires non dégénérées alternées ωx sur les fibres Ex dépendant de manière C∞ du point x de P. De manière plus rigoureuse, une forme symplectique est une section globale
du fibré 
qui soit en tout point non dégénérée.Cependant, sur une variété différentielle M, une forme symplectique ω est une 2-forme différentielle non dégénérée et fermée. Plus explicitement, on impose les conditions suivantes :
- la forme ω est non dégénérée c'est-à-dire qu' en tout point x, la forme bilinéaire antisymétrique ωx est non dégénérée.
- La forme ω est fermée, au sens où sa différentielle extérieure dω est nulle.
En particulier, (TM,ω) est un fibré symplectique, mais la définition d'une forme symplectique ne se limite pas à cette simple propriété. La condition d'être fermée implique l'unicité locale fournie par le théorème de Darboux.
Exemples
- Si
est un fibré vectoriel, alors il existe une forme symplectique sur le fibré vectoriel 
donnée par :
Ce premier exemple montre la naturalité des formes symplectiques. Contrairement aux métriques riemanniennes, leur existence est mal comprise, mais au moins, elles viennent naturellement.
- Si (M,ω) est une variété symplectique de dimension 2n, et que P est une sous-variété différentielle de M, alors :
- Le fibré tangent de M se restreint en un fibré de rang 2n sur P, noté
. Et (TPM,ω) est un fibré symplectique. - Si en tout point x de P, la forme bilineaire ωx est non degeneree en restriction a l'espace tangent TxP, alors, ι * ω est une forme symplectique sur P.
- Le fibré tangent de M se restreint en un fibré de rang 2n sur P, noté
Existence
L'existence des formes symplectiques sur les varietes differentielles est une question ouverte.
![\omega\left[f_1\oplus f_1^*,f_2\oplus f_2^*\right]=f_1^*(f_2)-f_2^*(f_1)](7/3f7b6624913d498058638ea233bbd2e0.png)
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