Forme de killing

Forme de killing

Forme de Killing

Dans la théorie des algèbres de Lie, la forme de Killing est une forme bilinéaire symétrique naturellement associée à toute algèbre de Lie. Elle reflète un certain nombre de propriétés des algèbres de Lie (semi-simplicité, résolubilité, ...).

Définition

Soit g une K-algèbre de Lie, où K désigne un corps (commutatif). La représentation adjointe définit pour tout vecteur x de g un endomorphisme K-linéaire ad(x) du K-espace vectoriel g :

ad(x)(y) = [x,y]

Si g est de dimension finie, il existe une forme bilinéaire symétrique B définie par :

B(x,y)=Tr\left(ad(x)\circ ad(y)\right)

où Tr désigne l'opérateur trace. Cette forme est appelée forme de Killing de g.


La forme de Killing est l'unique forme bilinéaire symétrique sur g, invariante sous l'action des automorphismes de la K-algèbre de Lie g et vérifiant l'identité remarquable :

B\left([x,y],z\right)=B\left(x,[y,z]\right).

Sa définition a été introduite par Cartan.

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