Forme de Killing
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Dans la théorie des algèbres de Lie, la forme de Killing est une forme bilinéaire symétrique naturellement associée à toute algèbre de Lie. Elle reflète un certain nombre de propriétés des algèbres de Lie (semi-simplicité, résolubilité…).
Définition
Soit g une K-algèbre de Lie, où K désigne un corps (commutatif). La représentation adjointe définit pour tout vecteur x de g un endomorphisme K-linéaire ad(x) du K-espace vectoriel g :
- ad(x)(y) = [x,y]
Si g est de dimension finie, il existe une forme bilinéaire symétrique B définie par :
où Tr désigne l'opérateur trace. Cette forme est appelée forme de Killing de g.
La forme de Killing est l'unique forme bilinéaire symétrique sur g, invariante sous l'action des automorphismes de la K-algèbre de Lie g et vérifiant l'identité remarquable :
![B\left([x,y],z\right)=B\left(x,[y,z]\right)](5/5358cbdd3d95b2f7f83b373ba0cd8c6f.png)
.
Curieusement, la forme de Killing a été définie par Henri Cartan, tandis que la matrice de Cartan a été définie par Wilhelm Killing.
Voir aussi
Tenseur de Killing
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Forme de Killing de Wikipédia en français (auteurs)
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