Fonction De Kelvin-Bessel

Fonction De Kelvin-Bessel

Fonction de Kelvin-Bessel

Les fonctions de Kelvin-Bessel sont des fonctions mathématiques obtenues à partir des fonctions de Bessel, en prenant comme argument pour ces dernières les racines carrées d'un nombre imaginaire pur.
Elles sont utilisées en électromagnétisme pour étudier les solutions des équations de Maxwell dans des domaines conducteurs de forme cylindrique.

Sommaire

Définition

On définit deux familles de fonctions de Kelvin-Bessel. La première famille comporte deux fonctions berν et beiν d'ordre ν, liées aux fonctions de Bessel de première espèce :

J_\nu(e^{i\,3\,\pi/4}\,x) = \operatorname{ber}_\nu(x) + i\,\operatorname{bei}_\nu(x)

Une autre façon de définir ces fonctions est de les écrire sous la forme d'une série :

\operatorname{ber}_\nu(x) = \sum_{p=0}^\infty \frac{\cos \pi\,(\frac{3\,\nu}{4}+\frac{p}{2})}{p!\,\Gamma(\nu+p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p+\nu}
\operatorname{bei}_\nu(x) = \sum_{p=0}^\infty \frac{\sin \pi\,(\frac{3\,\nu}{4}+\frac{p}{2})}{p!\,\Gamma(\nu+p+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p+\nu}

La seconde famille comporte deux autres fonctions kerν et keiν d'ordre ν, liées aux fonctions de Bessel modifiées de seconde espèce :

e^{-i\,\pi\,\nu/2}\,K_\nu(e^{i\,\pi/4}\,x) = \operatorname{ker}_\nu(x) + i\,\operatorname{kei}_\nu(x)

Quelques propriétés

Représentation graphique

Les fonctions de Kelvin-Bessel d'ordre ν = 0, plus simplement notées ber(x) et bei(x), sont représentées sur la figure suivante pour les petites valeurs de x :

Courbes représentatives des fonctions de Kelvin-Bessel d'ordre zéro ber(x) et bei(x)

Équation différentielle associée

Les fonctions berν et beiν sont solutions de l'équation de Bessel particulière suivante :

x^2 \, \frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2} + x \, \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} - (i\,x^2 + \nu^2) \, y = 0

dont la solution générale s'écrit

y(x) = \operatorname{ber}_\nu(x) + i \, \operatorname{bei}_\nu(x).

Primitive

\int \operatorname{ber}_\nu(x) \, x^{1+\nu} \, \mathrm dx = - \frac{x^{1+\nu}}{\sqrt{2}} \, (\operatorname{ber}_{\nu+1}(x) - \operatorname{bei}_{\nu+1}(x))
\int \operatorname{bei}_\nu(x) \, x^{1+\nu} \, \mathrm dx = \frac{x^{1+\nu}}{\sqrt{2}} \, (\operatorname{ber}_{\nu+1}(x) - \operatorname{bei}_{\nu+1}(x))

Références

  • A. Angot, Compléments de mathématiques à l'usage des ingénieurs de l'électrotechnique et des télécommunications, 6e édition, Masson, Paris, 1972.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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