Exemples de calcul de dérivée

Exemples de calcul de dérivée

Voir dérivée pour plus d'informations globales.

La dérivée est une fonction mathématique, plus précisément une fonction de fonctions car elle prend comme argument d’entrée une fonction et renvoie une autre fonction, généralement différente.

Sommaire

Exemples à partir de la définition du nombre dérivé

Fonction constante

Soit c un réel.

Considérons la fonction constante f de valeur c :

\forall x\in\mathbb{R}, \forall h\in\mathbb{R^*}, \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{c-c}{h} = 0

donc

\forall x\in\mathbb{R}, f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0.

Ainsi la dérivée d’une fonction constante est la fonction nulle.

Fonction puissance énième

Démonstration :

Soit la fonction f:

f(x)=x^{n}\, définie sur {I}\,


h\not=0


\forall a\in{I},\forall {(a+h)}\in{I}\,


t(h)= \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

t(h)=\frac{(a+h)^n-a^n}{h}

t(h)=\frac{(a^n+na^{n-1}h+p_3a^{n-2}h^{2}+p_4a^{n-3}h^{3}...p_{n}ah^{n-1}+p_{n+1}h^{n})-a^n}{h}

Où les coefficients pi sont donnés par le triangle de Pascal ( p1 = 1 et p2 = n). Les an s'annulent, on simplifie par h .


t(h)=na^{n-1}+p_3a^{n-2}h+p_4a^{n-3}h^{2}...p_{n}ah^{n-2}+p_{n+1}h^{n-1}\,


Donc : f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}t(h)= na^{n-1}


NB: fonctionne pour tout n et permet de retrouver les dérivées des fonctions inverse et racines énième. Cependant si n < 2 alors la fonction n'est pas dérivable en 0.

Fonction carré

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par

\forall x\in\mathbb{R}, f(x)=x^2
\forall x\in\mathbb{R}, \forall h\in\mathbb{R}^*,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}
=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}=\frac{2hx+h^2}{h}=2x+h

donc

f'(x)= \lim_{h\rightarrow 0}(2x + h)=2x

la dérivée de f est donc la fonction f’ définie par

\forall x\in\mathbb{R}, f'(x)=2x.

Fonction racine

Considérons la fonction f=√x

\forall x\in\mathbb{R}_+^*, \forall h\in\mathbb{R}^*,h>-x, \quad\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}
=\frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}
= \frac{x+h - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}

donc

\forall x\in\mathbb{R}_+^*, f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}= \frac{1}{2 \sqrt{x}}

D’autre part,

\forall h\in\mathbb{R}_+^*, \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=+\infty

donc f n’est pas dérivable en 0 et la courbe représentative admet en 0 une demi tangente verticale.

Exemples à partir des formules de dérivées

Voici une série d'exemples de dérivées calculées à partir des formules établies par la méthode avec la limite.

Second degré

Considérons les fonctions suivantes et puis dérivons-les par la suite :

1. y=x^2+5x-3\,

2. y=3x^2-9x+\frac{2}{3}\,

3. y=-4x^2+\frac{4}{7}x-1\,

Dérivées : 1. y=x^2+5x-3\,

y'=(x^2)'+(5x)'-(3)'\,

y'=2x+5+0\,

y'=2x+5\,

2. y=3x^2-9x+\frac{2}{3}\,

y'=(3x^2)'-(9x)'+(\frac{2}{3})'\,

y'=6x-9+0\,

y'=6x-9\,

3. y=-4x^2+\frac{4}{7}x-1\,


y'=(-4x^2)'+(\frac{4}{7}x)'-(1)'\,

y'=-8x+\frac{4}{7}-0\,

y'=-8x+\frac{4}{7}\,

Troisième degré

Considérons les fonctions suivantes et dérivons-les par la suite :

1. y=2x^3+6x^2-4x+\frac{9}{\pi} \,

2. y=-x^3-5x^2+\frac{2}{3}x-1 \,

3. y=\frac{5}{17}x^3+x^2-2x+e \,

Dérivées :

1. y=2x^3+6x^2-4x+\frac{9}{\pi}\,

y'=(2x^3)'+(6x^2)'-(4x)'+\left ( \frac{9}{\pi} \right )'\,

y'=6x^2+12x-4+0\,

y'=2(3x^2+6x-2)\,

2. y=-x^3-5x^2+\frac{2}{3}x-1\,

y'=-(x^3)'-(5x^2)'+\left (\frac{2}{3}x\right )'-(1)'\,

y'=-3x^2-10x+\frac{2}{3}-0\,

y'=-3x^2-10x+\frac{2}{3}\,

3. y=\frac{5}{17}x^3+x^2-2x+e\,

y'=\left (\frac{5}{17}x^3\right )'+(x^2)'-(2x)'+(e)'\,

y'=\frac{5\times 3x^2}{17}+2x-2+0\,

y'=\frac{15x^2}{17}+2x-2\,

Fonction puissance réelle

Soit la fonction puissance y :

y(x)=ax^b \qquad a\not=0,b\in\R

Alors, la dérivée n-ième de y est donnée, sur des intervalles convenables, par :

\forall n\in\N^*\qquad:\qquad y^{(n)}(x)=a\prod_{k=0}^{n-1}(b-k) \cdot x^{b-n}

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Exemples de calcul de dérivée de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Exemples De Calcul De Dérivée — Voir dérivée pour plus d informations globales. La dérivée est une fonction mathématique, plus précisément une fonction de fonctions car elle prend comme argument d’entrée une fonction et renvoie une autre fonction, généralement différente.… …   Wikipédia en Français

  • Exemples de calcul de derivee — Exemples de calcul de dérivée Voir dérivée pour plus d informations globales. La dérivée est une fonction mathématique, plus précisément une fonction de fonctions car elle prend comme argument d’entrée une fonction et renvoie une autre fonction,… …   Wikipédia en Français

  • Derivee — Dérivée  Ne doit pas être confondu avec différentielle. En analyse, le nombre dérivé d une fonction en un point est, si celui ci existe, le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C est à dire le… …   Wikipédia en Français

  • Dérivée (mathématiques élémentaires) — Dérivée  Ne doit pas être confondu avec différentielle. En analyse, le nombre dérivé d une fonction en un point est, si celui ci existe, le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C est à dire le… …   Wikipédia en Français

  • Dérivée première — Dérivée  Ne doit pas être confondu avec différentielle. En analyse, le nombre dérivé d une fonction en un point est, si celui ci existe, le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C est à dire le… …   Wikipédia en Français

  • Dérivée — En analyse, le nombre dérivé en un point d une fonction à variable et valeurs réelles est le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C est le coefficient directeur de l approximation affine de cette fonction… …   Wikipédia en Français

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables — Le calcul infinitésimal des fonctions de plusieurs variables a eu un développement plus tardif que celui des fonctions d’un seul argument. Inauguré avec un siècle de retard, il ne parvient à établir solidement ses fondements qu’au début du XXe… …   Encyclopédie Universelle

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable — Créée au XVIIe siècle par Newton, Leibniz et leurs prédécesseurs immédiats, transformée au XVIIIe, par Euler, en un prodigieux instrument de calcul, débarrassée, sous la Restauration, de sa métaphysique par le baron Cauchy, l’analyse… …   Encyclopédie Universelle

  • Derivee exterieure — Dérivée extérieure En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle, étend le concept de la différentielle d une fonction aux formes différentielles de plus haut degré. Elle permet de définir les formes… …   Wikipédia en Français

  • Dérivée Extérieure — En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle, étend le concept de la différentielle d une fonction aux formes différentielles de plus haut degré. Elle permet de définir les formes différentielles fermées et… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”