Exemples De Calcul De Dérivée

Exemples de calcul de dérivée

Voir dérivée pour plus d'informations globales.

La dérivée est une fonction mathématique, plus précisément une fonction de fonctions car elle prend comme argument d’entrée une fonction et renvoie une autre fonction, généralement différente.

Sommaire

1 Exemples à partir de la définition du nombre dérivé
2 Exemples à partir des formules de dérivées

Exemples à partir de la définition du nombre dérivé

Fonction constante

Soit c un réel.

Considérons la fonction constante f de valeur c :

$\forall x\in\mathbb{R}, \forall h\in\mathbb{R^*}, \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{c-c}{h} = 0$

donc

$\forall x\in\mathbb{R}, f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$ .

Ainsi la dérivée d’une fonction constante est la fonction nulle.

Fonction puissance énième

Démonstration :

Soit la fonction f:

$f(x)=x^{n}\,$ définie sur ${I}\,$

$h\not=0$

$\forall a\in{I},\forall {(a+h)}\in{I}\,$

$t(h)= \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

$t(h)=\frac{(a+h)^n-a^n}{h}$

$t(h)=\frac{(a^n+na^{n-1}h+p_3a^{n-2}h^{2}+p_4a^{n-3}h^{3}...p_{n}ah^{n-1}+p_{n+1}h^{n})-a^n}{h}$

Où les coefficients $p i$ sont donnés par le triangle de Pascal ( $p 1 = 1$ et $p 2 = n$ ). Les $a n$ s'annulent, on simplifie par $h$ .

$t(h)=na^{n-1}+p_3a^{n-2}h+p_4a^{n-3}h^{2}...p_{n}ah^{n-2}+p_{n+1}h^{n-1}\,$

Donc : $f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}t(h)= na^{n-1}$

NB: fonctionne pour tout n et permet de retrouver les dérivées des fonctions inverse et racines énième. Cependant si $n < 2$ alors la fonction n'est pas dérivable en 0.

Fonction carré

Considérons la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par

$\forall x\in\mathbb{R}, f(x)=x^2$

$\forall x\in\mathbb{R}, \forall h\in\mathbb{R}^*,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$

$=\frac{(x+h-x)(x+h+x)}{h}=\frac{h(2x+h)}{h}=2x+h$

donc

$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 0}(2x + h)=2x$

la dérivée de f est donc la fonction f’ définie par

$\forall x\in\mathbb{R}, f'(x)=2x$ .

Fonction racine

Considérons la fonction f=√x

$\forall x\in\mathbb{R}_+^*, \forall h\in\mathbb{R}^*,h>-x, \quad\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$

$=\frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

$= \frac{x+h - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

donc

$\forall x\in\mathbb{R}_+^*, f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}= \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

D’autre part,

$\forall h\in\mathbb{R}_+^*, \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=+\infty$

donc f n’est pas dérivable en 0 et la courbe représentative admet en 0 une demi tangente verticale.

Exemples à partir des formules de dérivées

Voici une série d'exemples de dérivées calculées à partir des formules établies par la méthode avec la limite.

Second degré

Considérons les fonctions suivantes et puis dérivons-les par la suite :

1. $y=x^2+5x-3\,$

2. $y=3x^2-9x+\frac{2}{3}\,$

3. $y=-4x^2+\frac{4}{7}x-1\,$

Dérivées : 1. $y=x^2+5x-3\,$

$y'=(x^2)'+(5x)'-(3)'\,$

$y'=2x+5+0\,$

$y'=2x+5\,$

2. $y=3x^2-9x+\frac{2}{3}\,$

$y'=(3x^2)'-(9x)'+(\frac{2}{3})'\,$

$y'=6x-9+0\,$

$y'=6x-9\,$

3. $y=-4x^2+\frac{4}{7}x-1\,$

$y'=(-4x^2)'+(\frac{4}{7}x)'-(1)'\,$

$y'=-8x+\frac{4}{7}-0\,$

$y'=-8x+\frac{4}{7}\,$

Troisième degré

Considérons les fonctions suivantes et dérivons-les par la suite :

1. $y=2x^3+6x^2-4x+\frac{9}{\pi} \,$

2. $y=-x^3-5x^2+\frac{2}{3}x-1 \,$

3. $y=\frac{5}{17}x^3+x^2-2x+e \,$

Dérivées :

1. $y=2x^3+6x^2-4x+\frac{9}{\pi}\,$

$y'=(2x^3)'+(6x^2)'-(4x)'+\left ( \frac{9}{\pi} \right )'\,$

$y'=6x^2+12x-4+0\,$

$y'=2(3x^2+6x-2)\,$

2. $y=-x^3-5x^2+\frac{2}{3}x-1\,$

$y'=-(x^3)'-(5x^2)'+\left (\frac{2}{3}x\right )'-(1)'\,$

$y'=-3x^2-10x+\frac{2}{3}-0\,$

$y'=-3x^2-10x+\frac{2}{3}\,$

3. $y=\frac{5}{17}x^3+x^2-2x+e\,$

$y'=\left (\frac{5}{17}x^3\right )'+(x^2)'-(2x)'+(e)'\,$

$y'=\frac{5\times 3x^2}{17}+2x-2+0\,$

$y'=\frac{15x^2}{17}+2x-2\,$

Fonction puissance réelle

Soit la fonction puissance y :

$y(x)=ax^b \qquad a\not=0,b\in\R$

Alors, la dérivée n-ième de y est donnée, sur des intervalles convenables, par :

$\forall n\in\N^*\qquad:\qquad y^{(n)}(x)=a\prod_{k=0}^{n-1}(b-k) \cdot x^{b-n}$

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Catégorie : Analyse réelle

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