- Polaire réciproque
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Polaire réciproque
Reste à faire : une ou plusieurs applications simples de la polaire réciproque.
Sommaire
Points cocycliques, quadrilatère inscrit
Soit A,B,C,D un quadrilatère et M l'intersection des diagonales.
Les quatre points sont cocycliques si et seulement si
DémonstrationsPreuve géométrique
Dans le sens direct c'est immédiat puisque c'est la puissance de M par rapport au cercle contenant les points.
Réciproquement soit le cercle contenant A,B,C et Alors par hypothèse donc D = D'.
Preuve analytique
L'origine du plan est prise en M et l'on pose A(a,0), C(c,0) sur l'axe des abscisses. Un cercle passant par A et C a pour centre .
On note b,d les abscisses de B et D qui sont donc situés sur une droite Y = λX.
L'équation du cercle s'écrit X2 + Y2 − (a + c)X − 2ωY + ac = 0.
Remplaçant Y par λX, B et D sont sur le cercle si et seulement si b et d vérifient (1 + λ2)X2 − (a + c + 2λω)X + ac = 0
L'existence de (i.e. de ω) équivaut à .
Mais et d'où le résultat.
Un produit scalaire symétrique
Apparition de la droite des tangentes
Soit toujours un cercle, d'un point M extérieur au cercle on mène les deux tangentes à . Soit T,T' les points de contact.
PROPRIÉTÉ : Si alors [M,I] divise harmoniquement [AB].
Démonstrationspreuve analytique
On prend l'origine en M, et MΩ pour axe des abscisses. Le cercle a pour équation (X − ω)2 + Y2 = R2. Les tangentes ont pour équation Y = λX ce qui donne pour les points de contact (1 + λ2)X2 − 2ωX + ω2 − R2 = 0 équation qui admet donc une racine double (par conséquent Δ = ω2 − (ω2 − R2)(1 + λ2) = 0) qui vaut qui vérifie bien .
preuve géométrique
Ω étant le milieu de [AB] il suffit de prouver (relation de Newton).
Commençons par écrire les trois triangles rectangles
. Mais on a d'où que l'on reporte pour obtenir
PROPRIÉTÉ : Le point d'intersection de (TT') avec toute corde issue de M divise harmoniquement la corde. [MI] divise harmoniquement [AB]
Démonstrationspreuve géométrique
Soit I le point d'intersection de la corde avec (TT'), I' le projeté de T sur (ΩM), Ω' le projeté de Ω sur (AB).
La démonstration proposée repose à nouveau sur plusieurs triangles rectangles.
Comme Ω' est le milieu de [AB] il suffit de prouver que (relation de Newton) .
De on tire
Il en résulte .
preuve analytique
On prend l'origine en M et l'on note encore A,B la corde et I le point d'intersection. La corde admet toujours une équation de la forme Y = λX si bien que et de même pour A et B.
Pour prouver le résultat, il suffit de le monter pour les abcisses, c'est-à-dire : où a,b désignent les abcisses de A et B soit les solutions de l'équation aux intersections (1 + λ2)X2 − 2ωX + ω2 − R2 = 0.
Or on a et . Le résultat s'en suit trivialement.
Polaire réciproque
Cette droite (TT') possède donc les propriétés suivantes :
- Toute corde [AB] au cercle, issue d'un point M extérieur à ce cercle, coupe cette droite en un point I tel que [MI] divise harmoniquement [AB];
- Cette droite et l'ensemble des conjugués harmoniques de M par rapport au cercle;
- Pour tout point I de cette droite, le cercle de diamètre [MI] est orthogonal au cercle de départ (cf. cerccles orthogonaux);
- Si O est le centre du cercle, ;
- Les intersections des diagonales de tous les quadrilatères complets issues de M sont alignés et sont sur cette droite;
- Si dans un repère centré au centre du cercle, le point M a pour coordonnées (x0,y0), l'équation de cette droite est x0X + y0Y = R2.
Définitions
Définition : Étant donné un point M et un cercle , on nomme polaire de M par rapport à , l'ensemble des conjugués harmoniques de M par rapport à .
Par conséquent si M est extérieur au cercle, c'est la droite (TT').
Réciproquement, toute droite du plan est la polaire d'un point unique nommé "pôle" de la droite.
Polaire et pôle sont reliés analytiquement par la relation : x0X + y0Y = R2 lorsque l'origine du plan est au centre du cercle.
Géométriquement, si la droite coupe le cercle, son pôle ne peut être que le point d'intersection des tangentes au cercle aux point . Si la droite ne coupe pas le cercle, on projette le centre O du cercle sur la droite en I; M est alors le conjugué de I par rapport au cercle, ou bien le projeté sur (OI) d'un point de contact d'une tangente à issue de I, puisqu'il est alors sur la polaire de I.
Intersection et alignement
La "polarisation" échange les notions de droites concourantes et de droite passant par deux points.
PROPRIÉTÉ Soit M1,M2 deux points (non alignés avec le centre du cercle); si D1,D2 désignent les polaires de ces points, alors est le pôle de la droite (M1M2). (Si M1,M2 sont alignés avec O on obtient le point à l'infini dans la direction perpendiculaire à (M1M2)).
DémonstrationsSi l'on note (xi,yi) les coordonnées de Mi, les coordonnées (x,y) de vérifieront d'où l'on tire
et
Ce point admet pour polaire la droite d'équation :
soit la droite ,
qui n'est autre que la droite (M1M2).
Géométriquement, si , les cercles de diamètre M1M et M2M sont orthogonaux à , donc M1 et M2 sont conjugués de M donc sont situées sur la polaire de M qui est donc la droite M1M2.
PROPRIÉTÉ Soit D1,D2 deux droites, M1,M2 leur pôles alors la droite (M1M2) est la polaire du point .
DémonstrationsLes deux droites possèdent des équations que l'on peut mettre sous la forme a1X + b1Y = R2 et a2X + b2Y = R2
ce qui fournit les coordonnées des pôles M1(a1,b1) et M2 = (a2,b2). La droite (M1M2) a pour équation (b2 − b1)X − (a2 − a1)Y = a1b2 − a2b1
son pôle a donc pour coordonnées
et qui est précisément le point commun aux deux droites.
Polaire d'une courbe
Il y a deux façons naturelles de définir la polaire d'une courbe.
Ou bien à un point M de la courbe on associe sa polaire puis l'on considère l'enveloppe de ces polaires ou bien on considère le lieu formé par les pôles des tangentes à la courbe. Ces deux notions coincident.
Soit (x(t),y(t)) une courbe du plan, la tangente a pour équation Xy' − Yx' = xy' − yx' son pôle a donc pour coordonnées
et
La polaire du point (x(t),y(t)) a pour équation Xx(t) + Yy(t) = R2. L'enveloppe de cette famiille de droites est déterminée par les équations qui donne précis&ément les mêmes expressions que précédemment.
La "polarisation" échange donc les notions de point d'une courbe et de tangente à la courbe.
Polaire d'une conique
PROPRIÉTÉ : La polaire d'une conique par rapport à un cercle centré en un foyer de la conique est un cercle centré au pôle de la directrice.
DémonstrationsL'origine étant prise au foyer, on définit la conique par son équation polaire Le pôle d'une tangente est situé sur la perpendiculaire à celle-ci passant par le foyer (l'origine). Il a donc pour angle polaire où V désigne l'angle entre (OM) et la tangente.
On sait maintenant que le pôle est en division harmonique avec le projeté du foyer sur la tangente et l'intersection avec le cercle.
La distance du foyer à la tangente vaut le pôle cherché est donc à la distance
Les coordonnées du pôle sont donc
et
Mais
d'où
et
d'où il résulte sans peine :
On obtient donc bien un cercle de centre qui est le pôle de la droite d'équation c'est-à-dire la directrice.
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
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