Equation differentielle de Clairaut

Equation differentielle de Clairaut

Équation différentielle de Clairaut

En mathématiques, l'équation de Clairaut est une équation différentielle qui peut se mettre sous la forme suivante

y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right),

avec f fonction continûment dérivable. C'est un cas particulier de l'équation différentielle de Lagrange, dont le nom est un hommage au mathématicien Alexis Claude Clairaut.

Il est plus simple dans un premier temps de rechercher les solutions deux fois continûment dérivables. Il suffit pour cela de dériver l'équation en

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2 y}{dx^2}+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d^2 y}{dx^2},

Ce qui conduit à

0=\left(x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\right)\frac{d^2 y}{dx^2}.

On obtient alors deux types de solutions : celles qui vérifient 0=\frac{d^2 y}{dx^2} sont des solutions affines. Ce sont les droites d'équation

y(x)=Cx+f(C),\,

qui sont appelées solutions générales de l'équation.

Par ailleurs il existe une solution telle que

0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right),

appelée solution singulière, et dont la courbe représentative est l'enveloppe de la famille des droites solutions.

Ce ne sont pas là toutes les courbes solutions. Des solutions hybrides peuvent être obtenues par raccordement de ces différentes courbes solutions, d'autant plus simplement qu'il s'agit d'une famille de droites et de sa courbe enveloppe.

On peut en outre se demander si limiter la recherche initiale aux fonctions deux fois continûment dérivables n'a pas limité le nombre de solutions. En fait en tout point (x,y) qui n'est pas sur la solution singulière, le théorème des fonctions implicites s'applique et permet d'exprimer y'\, comme une fonction de x,y\,, continûment dérivable. Il n'y a donc pas d'autres solutions.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « %C3%89quation diff%C3%A9rentielle de Clairaut ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Equation differentielle de Clairaut de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Équation différentielle de clairaut — En mathématiques, l équation de Clairaut est une équation différentielle qui peut se mettre sous la forme suivante avec f fonction continûment dérivable. C est un cas particulier de l équation différentielle de Lagrange, dont le nom est un… …   Wikipédia en Français

  • Équation différentielle de Clairaut — En mathématiques, l équation de Clairaut est une équation différentielle qui peut se mettre sous la forme suivante avec f fonction continûment dérivable. C est un cas particulier de l équation différentielle de Lagrange, dont le nom est un… …   Wikipédia en Français

  • Equation differentielle de Lagrange — Équation différentielle de Lagrange Pour les articles homonymes, voir Lagrange. En mathématiques, l équation différentielle de Lagrange est une équation différentielle qui peut se mettre sous la forme suivante pour deux fonctions a et b… …   Wikipédia en Français

  • Équation différentielle de lagrange — Pour les articles homonymes, voir Lagrange. En mathématiques, l équation différentielle de Lagrange est une équation différentielle qui peut se mettre sous la forme suivante pour deux fonctions a et b continûment dérivables. Elle porte le nom du… …   Wikipédia en Français

  • Équation différentielle de Lagrange — Pour les articles homonymes, voir Lagrange. En mathématiques, l équation différentielle de Lagrange est une équation différentielle qui peut se mettre sous la forme suivante pour deux fonctions a et b continûment dérivables. Elle porte le nom du… …   Wikipédia en Français

  • Théorie de Clairaut-Radau — Théorie des figures d équilibre La théorie des figures d équilibre considérée ici résulte de nombreuses études traitant du problème de la forme d équilibre de la Terre, en supposant que celle ci soit causée par la seule force de pesanteur, à l… …   Wikipédia en Français

  • Figure de la Terre : le sphéroïde de Clairaut — Sphéroïde de Clairaut Sommaire 1 Sphéroïde de Clairaut 2 Théorème de Clairaut 3 Sphéroïde de Maclaurin 4 …   Wikipédia en Français

  • Spheroide de Clairaut — Sphéroïde de Clairaut Sommaire 1 Sphéroïde de Clairaut 2 Théorème de Clairaut 3 Sphéroïde de Maclaurin 4 …   Wikipédia en Français

  • Sphéroïde de Clairaut — Sommaire 1 Sphéroïde de Clairaut 2 Théorème de Clairaut 3 Sphéroïde de Maclaurin 4 Triomphe …   Wikipédia en Français

  • Sphéroïde de clairaut — Sommaire 1 Sphéroïde de Clairaut 2 Théorème de Clairaut 3 Sphéroïde de Maclaurin 4 …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”