Ensembles disjoints

Ensembles disjoints

En mathématiques, deux ensembles sont dits disjoints s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple, {1,2,3} et {4,5,6} sont deux ensembles disjoints.

Explication

De manière formelle, deux ensembles A et B sont disjoints si leur intersection est l'ensemble vide, c'est-à-dire si

A\cap B = \varnothing~.

Cette définition s'étend à une famille d'ensembles. Les ensembles d'une famille sont dits disjoints deux à deux ou mutuellement disjoints si deux ensembles quelconques de cette famille sont disjoints.

Plus précisément, soient I~ un ensemble d'indices, et pour chaque i \in I, un ensemble Ai. Alors les ensembles de la famille (A_i)_{i\in I} sont mutuellement disjoints si

\forall (i,j)\in I^2\qquad(\ i \neq j\Rightarrow \ A_i \cap A_j = \varnothing)~.

Par exemple, les singletons de la famille ({1},{2},{3}) sont mutuellement disjoints.

Si (A_i)_{i\in I} est une famille d'ensembles mutuellement disjoints, et s'il y a au moins deux indices dans I, alors l'intersection de la famille est vide :

\cap_{i\in I}A_i=\varnothing~.

Cependant, la réciproque est fausse : l'intersection de la famille ({1,2},{2,3},{3,4}) est vide, mais ces trois ensembles ne sont pas mutuellement disjoints.

Une partition d'un ensemble X est une famille (A_i)_{i\in I} de sous-ensembles de X non vides, mutuellement disjoints et tels que :

\bigcup_{i\in I} A_i = X~.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Ensembles disjoints de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Ensembles Disjoints — En mathématiques, deux ensembles sont dits disjoints s ils n ont pas d éléments en commun. Par exemple, {1,2,3} et {4,5,6} sont deux ensembles disjoints. Explication De manière formelle, deux ensembles A et B sont disjoints si leur intersection… …   Wikipédia en Français

  • ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique — La théorie des ensembles fut créée par Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. Cependant, le caractère extrêmement général et abstrait de la notion d’ensemble permit de produire des paradoxes rendant la théorie contradictoire (cf. théorie… …   Encyclopédie Universelle

  • ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie élémentaire — L’algèbre des ensembles et l’étude abstraite des relations sont d’une importance croissante dans toutes les disciplines qui cherchent à s’exprimer dans un cadre rigoureux. En mathématiques, c’est l’interrogation sur les fondements de cette… …   Encyclopédie Universelle

  • Operations sur les ensembles — Algèbre des parties d un ensemble Cet article est consacré à une première approche des opérations sur les ensembles et de leurs propriétés : réunion, intersection, différence, complémentation, différence symétrique... Sommaire 1 Réunion 1.1… …   Wikipédia en Français

  • Theorie axiomatique des ensembles — Théorie des ensembles La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d ensemble et d… …   Wikipédia en Français

  • Theorie des ensembles — Théorie des ensembles La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d ensemble et d… …   Wikipédia en Français

  • Théorie axiomatique des ensembles — Théorie des ensembles La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d ensemble et d… …   Wikipédia en Français

  • Théorie des ensembles — La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d ensemble et d appartenance, à partir… …   Wikipédia en Français

  • Complementaire (theorie des ensembles) — Complémentaire (théorie des ensembles) Pour les articles homonymes, voir Complémentaire. Si le rectangle représente l ensemble E, la partie bleue est le complémentaire de la blanche …   Wikipédia en Français

  • Complémentaire (Théorie Des Ensembles) — Pour les articles homonymes, voir Complémentaire. Si le rectangle représente l ensemble E, la partie bleue est le complémentaire de la blanche …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”