- Ellipse de sûreté
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En balistique extérieure, pour des distances importantes du projectile, la notion d'ellipse de sûreté généralise celle de parabole de sûreté.
Description
On considère un modèle de Terre sphérique de centre T et une base B de lancement. On pose TB = R.
Un projectile balistique P est lancé de B avec la vitesse V0 faisant l'angle α avec la verticale TB. Le module de V0 est inférieur à la vitesse de libération (√2gR = 11,2 km/s sur Terre).
Lancé verticalement (α = 0), B atteint au maximum le point H d'altitude z' telle que 1 / z' = 1 / z − 1 / R avec
). Quand la hausse du canon varie, des points restent donc hors de portée : ils sont en sûreté en dehors d'une courbe (C), appelée de ce fait courbe de sûreté.Cette courbe (C) est l'ellipse de foyers B et T, passant par H, ce qui définit entièrement (C).
DémonstrationLieu des points de Torricelli :
- Soit une trajectoire issue de B : d'après les lois de Kepler, c'est une ellipse de foyer T, de grand axe donné ( 2a = − GMm / E0 avec E0 = 1 / 2mV2 − GMm / r). Le deuxième foyer, F, de cette ellipse se trouve donc à la distance BF = 2a − R, sur la demi-droite issue de B faisant l'angle 2α avec la verticale.
- Par ailleurs soit C, le point de Torricelli, tel que le segment BC soit corde focale : CF + CT = 2a ; donc CB + CT = 4a − R (= HB+HT).
- Quand la hausse du canon varie, la trajectoire varie, et l'ensemble des points C décrit la courbe (C) telle que : CB+CT = cste, c'est donc une ellipse, et c'est l'ellipse indiquée.
Montrons maintenant qu'une trajectoire (T) est tangente à la courbe (C) en C.
- Soit un point P intérieur à cette courbe : pour déterminer comment l'atteindre depuis B, il faut et il suffit de déterminer la position du deuxième foyer F : PF = 2a- PT est connu, donc F se trouve sur le cercle de centre P et rayon 2a − PT ; mais par ailleurs, ce foyer se trouve à la distance 2a − R de B : donc à l'intersection des deux cercles {P, 2a − PT} et {B, 2a − R} : il y a donc deux possibilités : la trajectoire tendue et la trajectoire de mortier.
- La situation limite est celle où les deux cercles sont tangents : BFP sont en ligne droite ; il n'y a plus qu'une solution double ; donc BP est corde focale ; P est en C : C est ainsi le point de contact (de tangence en fait) de la trajectoire avec la courbe de sûreté (C).
Vitesses cosmiques
En particulier, dès que V0 dépasse √gR (= 8,2 km/s sur Terre), l'ellipse (C) enclot la Terre entière : cette vitesse critique, annonciatrice de la Guerre froide et de ses missiles balistiques intercontinentaux, fut redoutée dès la fin de la Seconde guerre mondiale et fut appelée première vitesse cosmique ; la vitesse de libération s'appelle deuxième vitesse cosmique. La vitesse de libération du Système Solaire s'appelle la troisième vitesse cosmique (environ 17 km/s pour le Système Solaire).
Tous ces résultats sont présentés sans tenir compte de l'existence d'une atmosphère.
Si V0 est petit devant √gR, l'ellipse de sûreté se réduit au cas plus simple de la parabole de sûreté.
Voir aussi
- balistique extérieure (bibliographie détaillée)
- parabole de sûreté
- fusée
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