Dénombrement

Dénombrement
Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la notion de dénombrement comme recensement de la population en France sous l'Ancien Régime.

En mathématiques, le dénombrement est la détermination du nombre d'éléments d'un ensemble. Il s'obtient en général par un comptage ou par un calcul de son cardinal à l'aide de techniques combinatoires.

Sommaire

Perception immédiate

Face à une collection d'au plus quatre objets, l'être humain et peut-être certains animaux[1] semblent avoir une notion immédiate de la quantité présentée sans énumération. Ce phénomène, aussi appelé subitizing (en), peut être étendu au delà de quatre dans certaines configurations, comme les points sur les faces d'un . Les nombres figurés peuvent être ainsi plus facilement repérables.

Symbolisation par une même quantité

Les premières évaluations de quantités n'ont pas nécessairement été exprimées à l'aide d'un nom de nombre ou d'une notation chiffrée. Or de telles évaluations ont pu être utiles pour suivre l'évolution d'un troupeau, une production manufacturée, des récoltes ou une population humaine, notamment dans les corps d'armée. En l'absence de système de numération, il est possible de représenter chaque élément d'une collection par exemple à l'aide d'une encoche sur un morceau de bois ou un os. Un autre exemple est visible dans le film Ivan le Terrible de Sergueï Eisenstein, où avant un combat, les soldats jettent chacun à leur tour une pièce dans un sac.

Comptage

L'évaluation d'une quantité d'objets à l'aide d'un terme particulier nécessite l'établissement d'une liste de termes qui puisse être apprise et transmise. Certains peuples océaniens parcourent ainsi une vingtaine de parties du corps selon un ordre fixe (mais dépendant de la localisation du peuple)[2]. Chaque langue a développé un système de désignation des premiers nombres entiers, éventuellement lié à un système de numération particulier.

Le dénombrement consiste alors à parcourir simultanément la chaine numérique et la collection d'objets de façon à ce que chaque objet ne soit considéré qu'une seule fois. La compréhension de cette technique de dénombrement est décomposée en cinq principes[3] :

  • principe d'adéquation unique : chaque mot n'est associé qu'à un et un seul élément de la collection ;
  • principe d'ordre stable : les mots-nombre sont toujours récités dans le même ordre ;
  • principe cardinal : pour désigner la taille d'une collection, il suffit d'énoncer le dernier mot-nombre utilisé ;
  • principe d'abstraction : les objets peuvent être de nature différente ;
  • principe de non-pertinence de l'ordre : les objets peuvent être parcourus dans n'importe quel ordre.

Calcul

Pour des grandes quantités ou pour des ensembles abstraits et en particulier des ensembles mathématiques, le dénombrement se fait à l'aide d'opérations arithmétiques ou de considérations combinatoires.

Notes et références

  1. Certaines observations sont relatées dans le premier chapitre de l'Histoire universelle des chiffres de Georges Ifrah, page 22, Éditions Robert Laffont, Paris 1981.
  2. Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, page 46, Éditions Robert Laffont, Paris 1981.
  3. D'après les travaux de R. Gellman et C. R. Gallistel, cités dans l'article de Roger Bastien « L'acquisition du nombre chez l'enfant ».

Voir aussi

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