Dipôle magnétique d'une sphère

Soit une sphère, de centre O, de rayon R, parcourue par un courant de surface $\vec{j_S}(P) = j_0 sin \theta \cdot \vec{u_\phi}$ , de moment dipolaire $\vec{m} = j_0 V \cdot \vec{u_z}$ , avec V volume de la boule.

Plus précisément :

$\vec{m} = \frac{1}{2} \int \mathrm{d}^2r [\vec{r} \wedge \vec{j_s}(\vec{r})] = j_0 V \vec{u_z}$

Champ magnétique extérieur

Si r >> R , il est clair que B(M) est celui créé par m .

Très étonnant : c'est vrai pour tout r > R !

Soit : $\vec B(M)=\frac{\mu_0 \mathfrak m}{4\pi r^3} (2\cos(\theta) \vec u_r + \sin(\theta) \vec u_\theta) = \frac{\mu_0}{4\pi\cdot r^3}\cdot\bigl(3 \vec{u_r}(\vec{m} \cdot \vec{u_r}) - \vec{m}\bigr)$

qu'on peut écrire :

$\vec B(M)= \mu_0 j_0 \frac{R^3}{r^3}\cdot\bigl(\vec{u_r}(\vec{u_z} \cdot \vec{u_r}) - \frac{1}{3}\vec{u_z}\bigr)$

Champ magnétique intérieur

Bien sûr, la distribution de courant fait penser à celle d'un solénoïde. En effet, le courant s'annule juste sur les bords, de manière que le champ à l'intérieur soit uniforme :

$B (M) = B (O) = B e x t e r n e (0,0, R)$ par continuité de la composante normale de B.

$\vec B(M)= \frac{\mu_0 \vec{m}}{2 \pi R^3} = \frac{2 \mu_0 j_0}{3} \vec{u_z}$

Démonstration

La distribution de courant est à support compact : la solution existe et est unique. Il suffit donc de vérifier que la solution donnée satisfait bien à div B = 0 , rot B = 0 et aux conditions aux limites à l'infini (vrai) et sur la sphère, on a :

$[B_{ext} - B_{int}] \wedge u_r(P) = - \frac{3 \mu_0 \vec{m} \wedge \vec{u_r} }{4\pi R^3} = - \frac{3 \mu_0 m .sin(\theta)}{4\pi R^3} \vec{u_{\phi}} = - \mu_0 \vec{j_S}$ .

ou encore :

$[B_{ext} - B_{int}] = \mu_0 \vec{j_S} \wedge \vec{u_r}$

On pourra vérifier que la circulation sur une ligne de champ fermée quelconque satisfait bien le théorème d'Ampère.

Conclusion

Si R devient minuscule, et $j 0$ très grand, m joue le rôle d'une singularité en O , mais B n'y est pas infini, et son intégrale sur la boule vaut ( $\frac{8\pi}{3} \vec{m}$ ) : on prend l'habitude de dire qu'un moment dipolaire par unité de volume $J$ (en A/m) crée donc le champ d'un dipôle $+ \vec{m} \frac{8 \pi}{3}\delta (r)$

On comparera avec le dipôle électrique d'une boule

Notes et références

Annexes

Regardez d'autres dictionnaires:

Dipole magnetique d'une sphere — Dipôle magnétique d une sphère Soit une sphère, de centre O, de rayon R, parcourue par un courant de surface , de moment dipolaire , avec V volume de la boule. Plus précisément : Sommaire … Wikipédia en Français
Dipole magnétique d'une sphère — Dipôle magnétique d une sphère Soit une sphère, de centre O, de rayon R, parcourue par un courant de surface , de moment dipolaire , avec V volume de la boule. Plus précisément : Sommaire … Wikipédia en Français
Dipôle Magnétique D'une Sphère — Soit une sphère, de centre O, de rayon R, parcourue par un courant de surface , de moment dipolaire , avec V volume de la boule. Plus précisément : Sommaire … Wikipédia en Français
Dipole electrique d'une boule — Dipôle électrique d une boule Soit une boule, de rayon R, de polarisation uniforme,donc de moment dipôlaire . Le champ électrique créé par cette boule est le même que celui d une sphère chargée en surface par une densité surfacique de révolution… … Wikipédia en Français
Dipôle Électrique D'une Boule — Soit une boule, de rayon R, de polarisation uniforme,donc de moment dipôlaire . Le champ électrique créé par cette boule est le même que celui d une sphère chargée en surface par une densité surfacique de révolution σ(θ) = Pcosθ. Sommaire 1 Champ … Wikipédia en Français
Dipôle électrique d'une boule — Soit une boule, de rayon R, de polarisation uniforme, donc de moment dipôlaire . Le champ électrique créé par cette boule est le même que celui d une sphère chargée en surface par une densité surfacique de révolution σ(θ) = Pcosθ. Sommaire 1… … Wikipédia en Français
Dipole electrostatique — Dipôle électrostatique Schéma du dipôle le plus simple que soit, produit par deux charges électriques opposées Un dipôle électrostatique se définit par une répartition hétéroclite de charges électriques telles que le barycentre des charges… … Wikipédia en Français
Dipole électrostatique — Dipôle électrostatique Schéma du dipôle le plus simple que soit, produit par deux charges électriques opposées Un dipôle électrostatique se définit par une répartition hétéroclite de charges électriques telles que le barycentre des charges… … Wikipédia en Français
Dipôle Électrostatique — Schéma du dipôle le plus simple que soit, produit par deux charges électriques opposées Un dipôle électrostatique se définit par une répartition hétéroclite de charges électriques telles que le barycentre des charges positives ne coïncide pas… … Wikipédia en Français
Dipôle électrostatique — Schéma du dipôle le plus simple qui soit, produit par deux charges électriques opposées Un dipôle électrostatique se définit par une répartition hétéroclite de charges électriques telles que le barycentre des charges positives ne coïncide pas… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Dipôle magnétique d'une sphère

Sommaire

Champ magnétique extérieur

Champ magnétique intérieur

Démonstration

Conclusion

Notes et références

Annexes

Articles connexes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Dipôle magnétique d'une sphère

Sommaire

Champ magnétique extérieur

Champ magnétique intérieur

Démonstration

Conclusion

Notes et références

Annexes

Articles connexes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link