Courbure scalaire

Courbure scalaire

En géométrie différentielle, la courbure scalaire (ou courbure de Ricci, ou scalaire de Ricci) est l'outil le plus simple pour décrire la courbure d'une variété riemannienne. Il assigne à chaque point d'une variété riemannienne un simple nombre réel caractérisant la courbure intrinsèque de la variété en ce point.

Dans un espace à deux dimensions, la courbure scalaire caractérise complètement la courbure de la variété. En dimension ≥ 3, cependant, il n'y suffit pas et d'autres outils sont nécessaires.

La courbure scalaire, habituellement dénotée R est définie comme la trace du tenseur de Ricci relativement à la métrique.

R = \mbox{tr}_g\,Ric

On peut aussi écrire

R = gijRij,

avec

Ric = R_{ij}\,dx^i\otimes dx^j

Scalaire de Ricci en deux dimensions et en coordonnées de Riemann

Le scalaire de Ricci R ou Ric s'obtient à partir du tenseur de Ricci par la relation générale, appliquée à une surface[1] :

\left. R = g^{mm} R_{mm} = g^{xx} R_{xx} +g^{yy} R_{yy}\right.

En utilisant les relations entre composantes directes et inverses de la métrique ainsi que les relations entre les tenseurs de Riemann Rxyxy et de Ricci de composantes Rxx et Ryy qui s'écrit alors, en deux dimensions[2] :

R_{xx} = g^{yy}R_{xyxy} = \frac{1}{g_{yy}}R_{xyxy}
R_{yy} =g^{xx}R_{xyxy} = \frac{1}{g_{xx}}R_{xyxy}

on obtient la relation entre le scalaire de Ricci et la courbure de Gauss:

R = g^{xx}\frac{1}{g_{yy}}R_{xyxy}+g^{yy}\frac{1}{g_{xx}}R_{xyxy}=\frac{2}{g_{xx}g_{yy}}R_{xyxy}=2K

En deux dimensions, c’est-à-dire pour une surface, le scalaire de Ricci est le double de la courbure de Gauss K (au signe près selon la convention utilisée).

Notes et références

  1. ↑ En toute rigueur on devrait utiliser ici u et v au lieu de x et y car il s'agit de coordonnées de Gauss (voir Tenseur de Riemann)
  2. ↑ Bernard Schaeffer, Relativités et quanta clarifiés, Publibook, 2007

Voir aussi

Hakim, R, Gravitation relativiste, EDP Sciences, 2001

Riemannian geometry

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