Contraction du symbole de christoffel

Contraction du symbole de christoffel

Contraction du symbole de Christoffel

La contraction du symbole de Christoffel s'exprime à partir de la dérivée partielle du déterminant du tenseur métrique.

\Gamma^i_{ij} = \frac{1}{2 \det{g}} \partial_j \left(\det g\right) = \frac{1}{\sqrt{\det{g}}} \partial_j \sqrt{\det{g}} = \partial_j \left(\log \sqrt{\det{g}}\right)

Démonstration

Partant de l'expression du symbole de Christoffel en fonction de la dérivée partielle du tenseur métrique

\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left(g_{lj,i} + g_{li,j} - g_{ij,l}\right),

et profitant de la symétrie du tenseur métrique

g_{li} = g_{il}~

on a

\Gamma^i_{ij} = \frac{1}{2} \left( g^{il} g_{lj,i} + g^{il} g_{il,j} - g^{il} g_{ij,l}\right).

Échangeant i et l des produits internes du dernier terme, on voit que le premier terme le neutralise et l'on obtient

\Gamma^i_{ij} = \frac{1}{2} g^{il} g_{il,j}.

D'autre part la différentielle du déterminant detg s'obtient en sommant le produit de chaque différentielle dgij d'un élément de matrice gij par le mineur correspondant à cet élément. Comme la matrice gij est l'inverse de la matrice du tenseur métrique gij, les mineurs cherchés sont (detg)gij. Ainsi d(detg) = (detg)gijdgij et donc

g^{ij} \partial_k\left(g_{ij}\right) = \frac{1}{g} \partial_k \left(\det{g}\right)

On a donc

\Gamma^i_{ij} = \frac{1}{2 g} \partial_j \left(\det{g}\right).

∎

Remarques

  • Le symbole de Christoffel étant symétrique, on a Γiij = Γiji
  • Ni le symbole de Christoffel ni la dérivée partielle ne représentent des tenseurs. Néanmoins cette formule peut figurer dans des expressions qui représentent des tenseurs.
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