Consistance (mathématiques)

Consistance (mathématiques)
Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la consistance en logique mathématique : voir par exemple Théorie des modèles.

En analyse numérique, la consistance d’un schéma numérique aux différences finies est une propriété locale de l’algorithme qui en découle. Elle concerne essentiellement la capacité du schéma à représenter une solution régulière satisfaisant localement les équations aux dérivées partielles, ceci lorsque les pas de discrétisation (Δt, Δx, etc.) tendent tous vers 0. Plus précisément, si les données d’une étape du traitement algorithmique sont issues d’une solution exacte, les résultats de ce traitement tendent vers cette solution.

La consistance est une propriété distincte de la convergence, cette dernière étant de portée globale. Sous certaines hypothèses (et en particulier celle de la consistance), le théorème de Lax montre que la stabilité est une condition nécessaire et suffisante pour assurer la convergence.

La consistance dans le théorème de Lax

Considérons un problème supposé être bien posé qui modélise un système évolutif caractérisé par

  • une condition initiale précisant son état d’origine (variables spatiales en t = 0, soit U (x,\,0) = U_0(x)),
  • des équations aux dérivées partielles du type
\partial_t U (x,\,t) = D \, U(x,\,t) où D est une opérateur différentiel relatif aux variables spatiales,
  • des conditions de bord auxquelles est soumis l’état du système au cours de son évolution.

Dans ce contexte, un schéma numérique procède de la manière suivante :

  • Discrétisation des variables spatiales (pas Δx) pour établir une approximation numérique de l’ état d’origine.
  • Discrétisation de la variable temporelle (sur [0, \, T] avec un pas Δt) pour entreprendre un processus se déroulant par étapes successives au cours desquelles l’état numérique se transforme.

Notons C(Δt) l’opérateur de modification de l’état discret au cours d’une étape, ceci en supposant une relation liant Δx à Δt qui contraint Δx à converger vers 0 lorsque Δt fait de même.


La consistance exige que, pour une fonction \displaystyle u(x) régulière, alors C(\Delta t) \, u \, - \, u soit une bonne approximation de \Delta t \, D \, u, ceci au sens de la \|.\|_\infty définie par \|v\|_\infty = sup \,v(x).

La consistance est définie par la propriété suivante [1] :

Pour toute solution régulière \displaystyle u(x, \, t), alors

\lim_{\Delta t \to 0} \| \{ \frac{C(\Delta t) \, - \, I}{\Delta t} \, - \, D \} \,u(., \, t) \|_\infty = 0

et la convergence est uniforme sur 0 \leqslant t \leqslant T.


Référence

  1. ↑ (en) P. D. Lax, R.D. Richtmyer, « Survey of the stability of linear finite difference equations », dans Comm. Pure Appl. Math. (en), vol. 9, 1956, p. 267-293 [texte intégral, lien DOI] 

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Consistance (mathématiques) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Consistance (Mathématiques) — Un schéma numérique est dit consistant on dit aussi qu il y a consistance si et seulement si la formulation approchée des équations aux dérivées partielles discrétisées tend vers la formulation continue des équations lorsque tous les pas de… …   Wikipédia en Français

  • Consistance (mathematiques) — Consistance (mathématiques) Un schéma numérique est dit consistant on dit aussi qu il y a consistance si et seulement si la formulation approchée des équations aux dérivées partielles discrétisées tend vers la formulation continue des équations… …   Wikipédia en Français

  • Consistance — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Consistance », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) La consistance caractérise le degré de… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Fondation des mathématiques — Fondements des mathématiques Le problème de la fondation ou des fondements, des mathématiques est celui des principes sur lequel est établie cette science, de sa vérité et de son contenu. Il s agit en particulier de répondre à la question :… …   Wikipédia en Français

  • Fondements Des Mathématiques — Le problème de la fondation ou des fondements, des mathématiques est celui des principes sur lequel est établie cette science, de sa vérité et de son contenu. Il s agit en particulier de répondre à la question : « À partir de quels… …   Wikipédia en Français

  • Fondements des mathematiques — Fondements des mathématiques Le problème de la fondation ou des fondements, des mathématiques est celui des principes sur lequel est établie cette science, de sa vérité et de son contenu. Il s agit en particulier de répondre à la question :… …   Wikipédia en Français

  • Méthode des différences finies — En analyse numérique, la méthode des différences finies est une technique courante de recherche de solutions approchées d équations aux dérivées partielles qui consiste à résoudre un système de relations (schéma numérique) liant les valeurs des… …   Wikipédia en Français

  • GÖDEL (K.) — Issue de la pensée de Boole, de Cantor et de Frege au cours de la seconde moitié du XIXe siècle, la logique mathématique connaît ses premiers développements grâce à Hilbert et à Russel et Whitehead (premier quart du XXe siècle). Mais c’est à Kurt …   Encyclopédie Universelle

  • HILBERT (PROBLÈMES DE) — «Qui ne se réjouirait de pouvoir soulever le voile qui cache le futur, de jeter un regard sur le développement des mathématiques, ses progrès ultérieurs, les secrets des découvertes des siècles à venir?...» Prévoir le futur des mathématiques: qui …   Encyclopédie Universelle

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”