Conjecture de Elliott-Halberstam

En mathématiques et dans la théorie des nombres, la conjecture de Elliott-Halberstam est une conjecture à propos de la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d'applications dans la théorie du crible. Elle fut nommée ainsi en l'honneur de Peter T. D. A. Elliott et Heini Halberstam.

Enoncer la conjecture requiert une certaine notation. Notons $\pi(x)\,$ , le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Si q est un entier positif et a est premier avec q, nous notons

$\pi(x;q,a)\,$

le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x qui sont égaux à a modulo q. Le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques nous dit alors que

$\pi(x;q,a) \approx \frac{\pi(x)}{\phi(q)}$

lorsque a est premier avec q. Si nous définissons alors la fonction erreur

$E(x;q) = \max_{(a,q) = 1} \left|\pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\phi(q)}\right|$

où le max est pris sur tous les a premiers avec q, alors la conjecture de Elliott-Halberstam est l'assertion que pour chaque $\theta < 1\,$ et $A > 0\,$ , il existe une constante $C > 0\,$ telle que

$\sum_{1 \leq q \leq x^\theta} E(x;q) \leq C x / \log^A x$

pour tous les

$x > 2\,$ .

Cette conjecture a été démontrée pour tous les

$\theta < 1/2\,$

par Bombieri et A. I. Vinogradov (le théorème de Bombieri-Vinogradov, quelquefois connu simplement sous le nom théorème de Bombieri); ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyenne de l'hypothèse de Riemann généralisée. Il est connu que la conjecture échoue au point final

$\theta = 1\,$ .

La conjecture de Elliott-Halberstam a plusieurs conséquences. Une conséquence frappante est le résultat récent de Dan Goldston, Pintz, et Cem Yildirim [1] (voir aussi [2], [3]), qui montre (en supposant cette conjecture) qu'il existe infiniment beaucoup de paires de nombres premiers qui diffèrent par au plus 16.

Voir aussi

Le théorème de Barban-Davenport-Halberstam
Le théorème de Barban-Montgomery

Références

E. Bombieri, On the large sieve, Mathematika 12 (1965), 201-225
P.D.T.A. Elliot and H. Halberstam, A conjecture in prime number theory, Symp. Math. 4 (1968-1969), 59-72.
A.I. Vinogradov, The density hypothesis for Dirichlet L-series (in Russian), Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 29 (1965), 903-934.

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