Conjecture de Elliott-Halberstam

Conjecture de Elliott-Halberstam

Conjecture de Elliott-Halberstam

En mathématiques et dans la théorie des nombres, la conjecture de Elliott-Halberstam est une conjecture à propos de la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d'applications dans la théorie du crible. Elle fut nommée ainsi en l'honneur de Peter T. D. A. Elliott et Heini Halberstam.

Enoncer la conjecture requiert une certaine notation. Notons \pi(x)\,, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Si q est un entier positif et a est premier avec q, nous notons

\pi(x;q,a)\,

le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x qui sont égaux à a modulo q. Le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques nous dit alors que

 \pi(x;q,a) \approx  \frac{\pi(x)}{\phi(q)}

lorsque a est premier avec q. Si nous définissons alors la fonction erreur

 E(x;q) = \max_{(a,q) = 1} \left|\pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\phi(q)}\right|

où le max est pris sur tous les a premiers avec q, alors la conjecture de Elliott-Halberstam est l'assertion que pour chaque \theta < 1\, et A > 0\,, il existe une constante C > 0\, telle que

 \sum_{1 \leq q \leq x^\theta} E(x;q) \leq C x / \log^A x

pour tous les

x > 2\,.

Cette conjecture a été démontrée pour tous les

 \theta < 1/2\,

par Bombieri et A. I. Vinogradov (le théorème de Bombieri-Vinogradov, quelquefois connu simplement sous le nom théorème de Bombieri); ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyenne de l'hypothèse de Riemann généralisée. Il est connu que la conjecture échoue au point final

\theta = 1\,.

La conjecture de Elliott-Halberstam a plusieurs conséquences. Une conséquence frappante est le résultat récent de Dan Goldston, Pintz, et Cem Yildirim [1] (voir aussi [2], [3]), qui montre (en supposant cette conjecture) qu'il existe infiniment beaucoup de paires de nombres premiers qui diffèrent par au plus 16.

Voir aussi

  • Le théorème de Barban-Davenport-Halberstam
  • Le théorème de Barban-Montgomery

Références

  1. E. Bombieri, On the large sieve, Mathematika 12 (1965), 201-225
  2. P.D.T.A. Elliot and H. Halberstam, A conjecture in prime number theory, Symp. Math. 4 (1968-1969), 59-72.
  3. A.I. Vinogradov, The density hypothesis for Dirichlet L-series (in Russian), Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 29 (1965), 903-934.
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