Conjecture de Elliott-Halberstam

En mathématiques et dans la théorie des nombres, la conjecture de Elliott-Halberstam est une conjecture à propos de la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d'applications dans la théorie du crible. Elle fut nommée ainsi en l'honneur de Peter T. D. A. Elliott et Heini Halberstam.

Enoncer la conjecture requiert une certaine notation. Notons $\pi(x)\,$ , le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Si q est un entier positif et a est premier avec q, nous notons

$\pi(x;q,a)\,$

le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x qui sont égaux à a modulo q. Le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques nous dit alors que

$\pi(x;q,a) \approx \frac{\pi(x)}{\phi(q)}$

lorsque a est premier avec q. Si nous définissons alors la fonction erreur

$E(x;q) = \max_{(a,q) = 1} \left|\pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\phi(q)}\right|$

où le max est pris sur tous les a premiers avec q, alors la conjecture de Elliott-Halberstam est l'assertion que pour chaque $\theta < 1\,$ et $A > 0\,$ , il existe une constante $C > 0\,$ telle que

$\sum_{1 \leq q \leq x^\theta} E(x;q) \leq C x / \log^A x$

pour tous les

$x > 2\,$ .

Cette conjecture a été démontrée pour tous les

$\theta < 1/2\,$

par Bombieri et A. I. Vinogradov (le théorème de Bombieri-Vinogradov, quelquefois connu simplement sous le nom théorème de Bombieri); ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyenne de l'hypothèse de Riemann généralisée. Il est connu que la conjecture échoue au point final

$\theta = 1\,$ .

La conjecture de Elliott-Halberstam a plusieurs conséquences. Une conséquence frappante est le résultat récent de Dan Goldston, Pintz, et Cem Yildirim [1] (voir aussi [2], [3]), qui montre (en supposant cette conjecture) qu'il existe infiniment beaucoup de paires de nombres premiers qui diffèrent par au plus 16.

Voir aussi

Le théorème de Barban-Davenport-Halberstam
Le théorème de Barban-Montgomery

Références

E. Bombieri, On the large sieve, Mathematika 12 (1965), 201-225
P.D.T.A. Elliot and H. Halberstam, A conjecture in prime number theory, Symp. Math. 4 (1968-1969), 59-72.
A.I. Vinogradov, The density hypothesis for Dirichlet L-series (in Russian), Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 29 (1965), 903-934.

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Conjecture de Elliott-Halberstam ».

Catégories : Théorie analytique des nombres | Conjecture

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Conjecture de Elliott-Halberstam de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

Conjecture De Elliott-Halberstam — En mathématiques et dans la théorie des nombres, la conjecture de Elliott Halberstam est une conjecture à propos de la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d applications dans la théorie du crible … Wikipédia en Français
Conjecture de elliott-halberstam — En mathématiques et dans la théorie des nombres, la conjecture de Elliott Halberstam est une conjecture à propos de la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d applications dans la théorie du crible … Wikipédia en Français
Conjecture d'Elliott-Halberstam — En théorie des nombres, la conjecture d Elliott Halberstam concerne la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d applications en théorie des cribles. Elle fut nommée ainsi en l honneur de Peter D. T … Wikipédia en Français
Elliott–Halberstam conjecture — In number theory, the Elliott–Halberstam conjecture is a conjecture about the distribution of prime numbers in arithmetic progressions. It has many applications in sieve theory. It is named for Peter D. T. A. Elliott and Heini Halberstam.To state … Wikipedia
Conjetura de Elliott–Halberstam — El texto que sigue es una traducción defectuosa o incompleta. Si quieres colaborar con Wikipedia, busca el artículo original y mejora o finaliza esta traducción. Puedes dar aviso al autor principal del artículo pegando el siguiente código en su… … Wikipedia Español
Halberstam — ( he. הלברשטאם) is a surname, and may refer to:* David Halberstam (1934 2007), American journalist and author. * David J. Halberstam, an executive with Westwood One, author of sports books, and former play by play announcer for the Miami Heat and … Wikipedia
Twin prime conjecture — The twin prime conjecture is a famous unsolved problem in number theory that involves prime numbers. It states:: There are infinitely many primes p such that p + 2 is also prime. Such a pair of prime numbers is called a prime twin. The conjecture … Wikipedia
Heini Halberstam — is a British mathematician, working in the field of analytic number theory. He is one of the two mathematicians after whom the Elliott Halberstam conjecture is named. He obtained his Ph.D. in 1952, from University College, London, under… … Wikipedia
Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… … Wikipédia en Français
Liste Des Conjectures Mathématiques — Ce qui suit est une liste de conjectures mathématiques, contenues dans les pages de Wikipedia. Elles sont divisées en quatre sections, en accord avec leur état en 2006. Voir aussi : La conjecture d Erdős, qui liste les conjectures de Paul… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Conjecture de Elliott-Halberstam