Composantes D'un Vecteur

Composantes d'un vecteur

En algèbre linéaire, les composantes d'un vecteur sont une représentation explicite d'un vecteur d'un espace vectoriel par une famille de nombres, ou par un élément de l'espace vectoriel $K n$ , $K$ étant un corps commutatif.

Les composantes des vecteurs (d'un espace vectoriel de dimension finie) permettent de ramener des calculs vectoriels à des calculs sur des tableaux de nombres ( $n$ -uplets, matrices, vecteurs colonnes) qui peuvent être effectués explicitement.

Sommaire

1 Définition
2 Application composantes
3 Exemples
- 3.1 Exemple 1
- 3.2 Exemple 2

Définition

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur un corps commutatif $K$ et soit $\mathcal{B} = \left( b_1, b_2, \ldots, b_n \right)$ une base de $E$ .

Alors pour tout vecteur $v$ de $E$ , il existe une unique combinaison linéaire des vecteurs de la base, égale à $v$ :

$v = \alpha _1 b_1 + \alpha _2 b_2 + \cdots + \alpha _n b_n$

D'après l'une des propriétés des bases, les scalaires $α i$ où $i\in \{1, \ldots, n\}$ sont déterminés de façon unique par $v$ et $\mathcal{B}$ .

Maintenant, les composantes (ou les coordonnées) de $v$ dans la base $\mathcal{B}$ ou relativement à la base $\mathcal{B}$ , sont par définition la famille $\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ . Les composantes peuvent aussi être représentées en colonne sous forme d'une matrice:

$\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ \vdots \\ \alpha _n \end{pmatrix}.$ .

La matrice est appelée matrice colonne des composantes (ou des coordonnées) ou vecteur colonne des composantes de $v$ .

Cette matrice est parfois notée $M_{\mathcal{B}}(v)$ , $Mat_{\mathcal{B}}(v)$ ou encore $[v]_{\mathcal{B}}$ .

Pour $i\in\{1,\ldots,n\}$ , le scalaire $α i$ est appelé la $i$ ème composante ou $i$ ème coordonnée du vecteur $v$ .

Application composantes

Considérons $E$ étant un espace vectoriel sur un corps commutatif $K$ , muni d'une base $\mathcal{B}=\left( b_1, b_2, \ldots, b_n \right)$ .

Le mécanisme précédent qui fait correspondre à un vecteur ses composantes peut être décrit par l'application $\varphi_{\mathcal{B}}$ qui à un vecteur $v$ de $E$ associe ses composantes dans la base $\mathcal{B}$ et définie par:

$\forall v\in E, \varphi_{\mathcal{B}}(v)=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ ,

où $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ appartiennent à $K$ et vérifient $v=\alpha_1.b_1+\cdots+\alpha_n.b_n$ .

Alors $\varphi_{\mathcal{B}}$ est une application linéaire de $E$ dans $K n$ .

En fait cette application est un isomorphisme, et sa réciproque $\varphi_{\mathcal{B}}^{-1}:K^n\to E$ est définie par

$\forall (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in K^n, \varphi_{\mathcal{B}}^{-1}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\alpha_1 b_1+\cdots+\alpha_n b_n.$

Il est aussi possible de commencer par définir $\varphi_{\mathcal{B}}^{-1}$ l'application réciproque de l'application du début, de constater que $\varphi_{\mathcal{B}}^{-1}$ est un isomorphisme, puis de définir $\varphi_{\mathcal{B}}$ comme son application réciproque.

Remarque: Même si cette application permet d'identifier un vecteur de $E$ à ses composantes, il est hors de question de confondre les deux, puisque les coordonnées d'un vecteur dépendent en général de la base choisie.

Exemples

Exemple 1

Soit $\mathbb{R}_3[x]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur à 4 (c'est-à-dire dont la plus grande puissance de $x$ est 4). Cet espace est engendré par la partie suivante:

{1, x, x 2, x 3}

et la famille $\mathcal{B}=(1, x, x^2, x^3)$ est une base de cet espace.

La matrice colonne des composantes dans cette base du polynôme

$p \left( x \right) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3$

s'écrit $\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ .

Relativement à cette base, l'opérateur de dérivation $\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}$ que nous noterons $D$ qui à $p$ associe $D p = p'$ est représenté par la matrice suivante:

$Mat_{\mathcal{B}}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

En utilisant cette représentation il est aisé de déterminer les propriétés de l'opérateur: comme l'inversibilité, s'il est hermitien ou anti-hermitien ou rien du tout, son spectre ses valeurs propres etc.

Exemple 2

Les matrices de Pauli représentent l'opérateur spin lorsque les vecteurs propres correspondant à l'état de spin sont transformés en coordonnées.

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Catégorie : Espace vectoriel

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