Commutativité

Commutativité

Loi commutative

Exemple montrant la commutativité de l'addition (3 + 2 = 2 + 3)

En mathématiques, particulièrement en algèbre générale, une loi de composition interne \star sur un ensemble S est commutative si, pour tous x et y dans S,

x \star y = y \star x.

Les exemples les plus courants de lois commutatives sont l'addition et la multiplication des entiers naturels ; par exemple :

4 + 5 = 5 + 4
2 × 3 = 3 × 2

D'autres exemples de lois commutatives incluent l'addition et la multiplication des nombres réels et des nombres complexes, l'addition des vecteurs, et l'intersection et la réunion des ensembles.

D'importantes lois non commutatives sont la soustraction, la division, la multiplication des matrices, la composition de fonctions et la multiplication des quaternions.

Un groupe abélien est un groupe dont la loi est commutative.

Un anneau est appelé anneau commutatif si sa multiplication est commutative puisque la loi d'addition dans tout anneau est commutative.

Il en est de même pour un corps. Il est remarquable que la loi de multiplication sur un corps fini est toujours commutative. C'est ce qu'on appelle le théorème de Wedderburn.

Soit S un ensemble muni d'une loi de composition interne \star. Deux éléments x,y de S sont dits permutables si par définition:

x\star y=y\star x.

On dit parfois que x et y commutent.

Remarque : Il peut exister dans un ensemble des éléments permutables, sans que la loi soit commutative. C'est le cas, par exemple, de l'ensemble des matrices carrées d'ordre n muni de la multiplication qui n'est pas commutative. Mais la matrice identité et n'importe quelle autre matrice sont permutables.

\star est commutative si et seulement si pour tout couple (x,y) d'éléments de S, x et y sont permutables.

Non-commutativité

Toutes les lois de composition interne ne sont pas commutatives. Par exemple :

  • la soustraction arithmétique : a - b ≠ b - a n'est pas commutative,
  • la soustraction booléenne des solides géométriques n'est pas commutative.

Voir aussi

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Voir « loi commutative » sur le Wiktionnaire.
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