Cohésion des grains de sable

Cohésion des grains de sable

Un château de sable ne tient que s'il est fait de sable un peu humide. Ceci est l'effet de l’adhésion capillaire. La petite quantité d'eau présente entre deux grains de sable permet une attraction entre eux. Cet article rappelle le mécanisme de base de l'attraction et calcule quelle est la quantité minimium d'eau nécessaire à la tenue mécanique du château.

Sommaire

Mécanisme

L'attraction entre les deux grains de sable humides est due à la pression de Laplace. Si l'on regarde le joint entre deux grains de sable, le liquide forme un petit pont (pont capillaire) entre les deux grains.

Schéma d'un pont capillaire
Le liquide entre les deux grains de sable forme un pont capillaire.

L'interface entre le liquide et le grain est courbée avec un rayon de courbure − R. En effet, la courbure est tournée vers l'extérieur, elle est donc négative. La pression de Laplace s'écrit P=-\frac{\gamma}{R} où γ est la tension de surface entre le liquide et le solide.

La pression dans le liquide est donc plus faible que la pression atmosphérique. Cette différence de pression engendre une attraction entre les deux grains de sable ce qui tend à les maintenir ensemble.

Quantité d'eau nécessaire à la fabrication d'un château de sable

L'adhésion capillaire est efficace lorsqu'il y a très peu d'eau entre chaque grain de sable. La suite de l'article propose de calculer approximativement quelle quantité de liquide est nécessaire pour que l'eau présente entre chaque grain permette une attraction capillaire suffisante pour compenser le poids d'un grain de sable.

Force d'attraction entre deux grains

Il s'agit ici de calculer la pression dans le pont capillaire et de comparer la force d'attraction au poids. Après calcul, on trouve que la force d'attraction est dix fois plus importante que le poids et permet donc de tenir les grains de sable entre eux.

Schéma d'un pont capillaire avec les notations utilisées dans l'article
Notations utilisées dans l'article.

Les notations utilisées sont celles de la figure ci-contre. Soient θ l’angle que fait le liquide avec le grain de sable, α l’angle d’ouverture du ménisque et δ la hauteur du ménisque. La pression dans le pont capillaire ΔP est fonction de la quantité de liquide, donc des quantités a et δ.

La figure ci-contre montre que α = β. Par ailleurs, r=\frac{\delta}{\sin \alpha}=\frac{\delta}{\sin \beta}. Il suffit donc de lier l'angle β aux deux distances a et δ pour avoir une expression de la pression dans le liquide \Delta P =-\frac{\gamma}{r}. Soit ρ(z), l'équation du grain de sable. tan β est la pente de cette droite au point (a,δ) soit tan β = ρ'(z). Dans le cadre d'une approximation parabolique, z s'écrit z = αρ2 + β d'où \rho(z)=a\sqrt{\frac{z}{\delta}}. Et, finalement, \tan \beta=\rho'(z=a)=\frac{a}{2 \delta} \Delta P=-\frac{\gamma \sin \beta}{\delta}

La force d’adhésion entre les grains est due pression ΔP qui s'applique sur la surface πa2 soit F=\frac{\gamma}{\delta}\sin \beta \pi a^2.

Un grain de sable a un rayon typique de \simeq 300 \mum ce qui donne, en ordre de grandeur, \delta \simeq 10 \mum, a \simeq 50 \mum.

Alors F = 5,5.10 − 5N


Si cette force est supérieure au poids d'un grain de sable, elle est suffisante pour assurer l'adhésion des grains. Soit V le volume d'un grain de sable et μ la densité du sable, le poids d'un grain de sable est P=\mu V g\simeq 2.10^{-6}N (en prenant une densité de 2 pour le sable).

La force capillaire est donc de l'ordre de dix fois le poids et la présence de l'eau empêche bien les grains de sable de se décoller.

Calcul de la quantité de liquide dans une tour de sable

Pour fabriquer un tour de sable, il faut environ un litre de sable (un seau). Chaque grain est au contact de quelques autres (typiquement 5) par l'intermédiaire d'un pont capillaire. Le volume d'eau nécessaire peut être calculé en multipliant le volume d'un pont capillaire par le nombre total de contacts entre grains dans le château.

Le volume de liquide est le volume du cylindre de rayon a moins le volume du grain de sable sur la hauteur δ soit V_{liq}=\pi a^2 \delta - \int_{0}^{\delta}\pi \rho^2dz=\pi a^2 \delta-\frac{\pi}{2} a^2 \delta soit V_{liq}=\frac{\pi}{2} a^2 \delta

Pour qu'un litre de sable soit rendu cohésif, il faut que ce volume d'eau Vliq soit présent entre chacun grain de sable. Si l'on considère qu'il y a environ n_{contact}\simeq 5 contacts entre deux grains de sable, et que la compacité c est de 60% (ce qui est proche de l'empilement compact), on obtient~:

V_{total}=n_{grains} n_{contact} V_{liq}=\frac{c V_{sable}}{\frac{4}{3}\pi d^3} n_{contact} V_{liq}\simeq 10^{-3} L.

Donc, 1 ml d'eau devrait être suffisant pour rendre cohésif un château de sable. Cela nécessite de mélanger parfaitement le sable et le liquide.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Cohésion des grains de sable de Wikipédia en français (auteurs)

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