Capacité thermique isochore

Capacité thermique isochore

La capacité thermique isochore, que l'on note le plus souvent C_V~, se définit par la dérivée partielle de l'énergie interne U par rapport à la température T calculée à volume V constant, soit :


C_V \ = \ \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V


Comme l'énergie interne, c'est une grandeur extensive, qui s'exprime en Joule par Kelvin. Elle dépend en général de la température T et du volume V.

Sommaire

Exemple

Pour n moles d'un gaz parfait monoatomique, l'énergie interne se calcule explicitement :

U(T) \ = \ \frac{3}{2} \ n \ R \ T

où R est la constante des gaz parfaits. L'énergie interne est ici indépendante du volume V, et la capacité thermique isochore est dans ce cas particulier égale à une constante :

C_V \ = \ \frac{3}{2} \ n \ R

Propriété

L'énergie interne U(T,V) étant en général une fonction de la température T et du volume V, la capacité thermique isochore s'introduit naturellement dans la forme différentielle :

dU \ = \ C_V \ dT \ + \ (l - p) \ dV

où l est un coefficient calorimétrique.

Variation avec le volume

L'énergie interne U étant une fonction d'état, la forme différentielle précédente est une différentielle exacte, et on en déduit la relation :

\left( \frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T \ = \ \left( \frac{\partial (l - p)}{\partial T}\right)_V \ = \ \left( \frac{\partial l}{\partial T}\right)_V \ - \ \left( \frac{\partial p}{\partial T}\right)_V

La thermodynamique permet de montrer par ailleurs que le coefficient calorimétrique l est égal à :

l \ = \ T \ \left( \frac{\partial p}{\partial T}\right)_V

On en déduit la dérivée partielle de la capacité thermique isochore par rapport au volume à température constante :


\left( \frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T \ = \ T \ \left( \frac{\partial^2 p}{\partial T^2}\right)_V


Si l'on connait l'équation d'état du système étudié, on peut donc calculer cette dérivée partielle.

Variation avec la température

La thermodynamique ne permet hélas pas de calculer la dérivée partielle de la capacité thermique isochore par rapport à la température à volume constant :

\left( \frac{\partial C_V}{\partial T}\right)_V \ = \ \mathrm{?}

Cette variation doit donc être mesurée expérimentalement pour chaque système.

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