Calcul de la racine énième d'un nombre

Calcul de la racine énième d'un nombre

Calcul de la racine n-ième d'un nombre

La racine n-ième (ou, rarement, racine énième) d'un nombre réel positif A, se notant \sqrt[n]{A}, est la solution positive de l'équation xn = A avec n \in \mathbb{N}^*.

Pour un entier n, il y a n solutions complexes distinctes pour cette équation si A > 0, mais une seule est réelle et positive.

Il s'agit en fait de calculer :

A^{1/n} = \exp \left (\frac{1}{n} \ln A \right ).

(ce qui découle de la relation exprimant un nombre strictement positif élevé à une puissance quelconque :

si a > 0 et \quad x \in \mathbb R alors a^b = \exp \left (b. \ln a \right ) )

Il existe une suite mathématique qui converge très rapidement, et permet de trouver \sqrt[n]{A} :

  • Soit x0 un nombre de départ ;
  • Calculer la suite récurrente x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right] jusqu'à obtenir la précision voulue.

Par exemple, pour calculer la racine carrée, on remplace n par 2 :

x_{k+1} = \frac{1}{2}\left(x_k + \frac{A}{x_k}\right)

Pour de grands n cependant, la méthode est bien moins efficace, puisqu'elle demande le calcul de x_k^n à chaque itération de la suite.

Explication à partir de la méthode de Newton

  • Soit x0 un nombre de départ et soit f(x) = xn − A une fonction de \mathbb{R}^*_+ dans \mathbb{R};
  • Calculer la suite récurrente x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} jusqu'à atteindre la précision voulue.

En effet, la recherche d'une racine nième peut être ramenée à la recherche du zéro de la fonction f(x) = xn − A, dont la dérivée est f^\prime(x) = n x^{n-1} et la règle d'itération :

x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x_k^n - A}{n x_k^{n-1}} = x_k - \frac{x_k}{n}+\frac{A}{n x_k^{n-1}} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]

Nombres négatifs, parité de n

Si A est négatif, on distingue deux cas :

  • Si n est pair.

L'équation xn = A n'admet aucune solution réelle.

Néanmoins, il existe des solutions complexes

  • Si n est impaire.

Calculer \sqrt[n]{A} revient à calculer -\sqrt[n]{-A}.

− A étant bien sur positif, les méthodes décrites précédemment s'appliquent.

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