- Calcul de la racine cubique d'un nombre
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Calcul de la racine n-ième d'un nombre
La racine n-ième (ou, rarement, racine énième) d'un nombre réel positif A, se notant
, est la solution positive de l'équation xn = A avec
.
Pour un entier n, il y a n solutions complexes distinctes pour cette équation si A > 0, mais une seule est réelle et positive.
Il s'agit en fait de calculer :
.
(ce qui découle de la relation exprimant un nombre strictement positif élevé à une puissance quelconque :
si a > 0 et
alors
)
Il existe une suite mathématique qui converge très rapidement, et permet de trouver
:
- Soit x0 un nombre de départ ;
- Calculer la suite récurrente
jusqu'à obtenir la précision voulue.
Par exemple, pour calculer la racine carrée, on remplace n par 2 :
Pour de grands n cependant, la méthode est bien moins efficace, puisqu'elle demande le calcul de
à chaque itération de la suite.
Explication à partir de la méthode de Newton
- Soit x0 un nombre de départ et soit f(x) = xn − A une fonction de
dans
;
- Calculer la suite récurrente
jusqu'à atteindre la précision voulue.
En effet, la recherche d'une racine nième peut être ramenée à la recherche du zéro de la fonction f(x) = xn − A, dont la dérivée est
et la règle d'itération :
Nombres négatifs, parité de n
Si A est négatif, on distingue deux cas :
- Si n est pair.
L'équation xn = A n'admet aucune solution réelle.
Néanmoins, il existe des solutions complexes
- Si n est impaire.
Calculer
revient à calculer
.
− A étant bien sur positif, les méthodes décrites précédemment s'appliquent.
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