Calcul de la racine quatrième d'un nombre

Calcul de la racine quatrième d'un nombre

Calcul de la racine n-ième d'un nombre

La racine n-ième (ou, rarement, racine énième) d'un nombre réel positif A, se notant \sqrt[n]{A}, est la solution positive de l'équation xn = A avec n \in \mathbb{N}^*.

Pour un entier n, il y a n solutions complexes distinctes pour cette équation si A > 0, mais une seule est réelle et positive.

Il s'agit en fait de calculer :

A^{1/n} = \exp \left (\frac{1}{n} \ln A \right ).

(ce qui découle de la relation exprimant un nombre strictement positif élevé à une puissance quelconque :

si a > 0 et \quad x \in \mathbb R alors a^b = \exp \left (b. \ln a \right ) )

Il existe une suite mathématique qui converge très rapidement, et permet de trouver \sqrt[n]{A} :

  • Soit x0 un nombre de départ ;
  • Calculer la suite récurrente x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right] jusqu'à obtenir la précision voulue.

Par exemple, pour calculer la racine carrée, on remplace n par 2 :

x_{k+1} = \frac{1}{2}\left(x_k + \frac{A}{x_k}\right)

Pour de grands n cependant, la méthode est bien moins efficace, puisqu'elle demande le calcul de x_k^n à chaque itération de la suite.

Explication à partir de la méthode de Newton

  • Soit x0 un nombre de départ et soit f(x) = xn − A une fonction de \mathbb{R}^*_+ dans \mathbb{R};
  • Calculer la suite récurrente x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} jusqu'à atteindre la précision voulue.

En effet, la recherche d'une racine nième peut être ramenée à la recherche du zéro de la fonction f(x) = xn − A, dont la dérivée est f^\prime(x) = n x^{n-1} et la règle d'itération :

x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x_k^n - A}{n x_k^{n-1}} = x_k - \frac{x_k}{n}+\frac{A}{n x_k^{n-1}} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]

Nombres négatifs, parité de n

Si A est négatif, on distingue deux cas :

  • Si n est pair.

L'équation xn = A n'admet aucune solution réelle.

Néanmoins, il existe des solutions complexes

  • Si n est impaire.

Calculer \sqrt[n]{A} revient à calculer -\sqrt[n]{-A}.

− A étant bien sur positif, les méthodes décrites précédemment s'appliquent.

Liens internes

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Calcul de la racine n-i%C3%A8me d%27un nombre ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Calcul de la racine quatrième d'un nombre de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Racine Cubique — En mathématiques, la racine cubique d un nombre réel y est l unique nombre x qui, élevé à la puissance 3 (c est à dire multiplié par lui même trois fois) vaut y ; en d autres termes, y = x3. La racine cubique de y est notée . Par exemple, la …   Wikipédia en Français

  • Racine Cubique (Mathématiques Élémentaires) — Racine cubique En mathématiques, la racine cubique d un nombre réel y est l unique nombre x qui, élevé à la puissance 3 (c est à dire multiplié par lui même trois fois) vaut y ; en d autres termes, y = x3. La racine cubique de y est notée .… …   Wikipédia en Français

  • Racine cubique (mathématiques élémentaires) — Racine cubique En mathématiques, la racine cubique d un nombre réel y est l unique nombre x qui, élevé à la puissance 3 (c est à dire multiplié par lui même trois fois) vaut y ; en d autres termes, y = x3. La racine cubique de y est notée .… …   Wikipédia en Français

  • Racine cubique — En mathématiques, la racine cubique d un nombre réel y est l unique nombre réel x qui, élevé à la puissance 3 (c est à dire multiplié par lui même trois fois) vaut y ; en d autres termes, y = x3. La racine cubique de y est notée . Par… …   Wikipédia en Français

  • nombre — [ nɔ̃br ] n. m. • déb. XIIe; lat. numerus I ♦ 1 ♦ Concept de base des mathématiques, une des notions fondamentales de l entendement que l on peut rapporter à d autres idées (de pluralité, d ensemble, de correspondance), mais non définir.… …   Encyclopédie Universelle

  • Nombre D'or —  Pour l’article homonyme, voir Nombre d or (astronomie).  La proportion définie par a et b est dite d extrême et de moyenne raison lorsque a e …   Wikipédia en Français

  • Nombre d'Or —  Pour l’article homonyme, voir Nombre d or (astronomie).  La proportion définie par a et b est dite d extrême et de moyenne raison lorsque a e …   Wikipédia en Français

  • Nombre d’or — Nombre d or  Pour l’article homonyme, voir Nombre d or (astronomie).  La proportion définie par a et b est dite d extrême et de moyenne raison lorsque a e …   Wikipédia en Français

  • racine — [ rasin ] n. f. • XIIe; bas lat. radicina, de radix, radicis I ♦ 1 ♦ Partie axiale des plantes vasculaires qui croît en sens inverse de la tige et par laquelle la plante se fixe et absorbe les éléments dont elle se nourrit. ⇒ pivot, radicelle,… …   Encyclopédie Universelle

  • Nombre Constructible — Un nombre constructible à la règle et au compas est la mesure d une longueur associée à deux points constructibles à la règle et au compas. Ainsi, est un nombre constructible, mais ni ni π ne le sont. C est du moins ainsi que le définissaient les …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”