- Théorème de Szemerédi
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En mathématiques, le théorème de Szemerédi[1] est la conjecture d'Erdős-Turán démontrée par Endre Szemerédi en 1975.
Sommaire
Énoncé
Soit k un entier positif et 0 < δ ≤ 1/2. Alors il existe un entier
tel que pour tout sous-ensemble de {1,...N} d'au moins δN éléments, ce sous-ensemble contienne une progression arithmétique de longueur k.A l'heure actuelle, on ne sait qu'encadrer la valeur de N, dans le cas général le meilleur encadrement connu est celui-ci :
. La borne inférieure est due à Behrend et Rankin (en)[2], la borne supérieure a été étudiée par Gowers.Dans le cas où k = 3 nous avons la majoration suivante, due à Bourgain[3] :
.
Historique
Le cas k=3 a été démontré en 1956 par Roth. Cependant sa méthode ne se généralisait pas à tous les cas, et il a fallu attendre 1969 pour que Szeremédi démontre le cas k=4. En 1972, Roth étend à son tour sa méthode au cas k=4, et le cas général est finalement démontré par Szeremédi en 1975. Depuis, ce théorème a connu de nombreuses démonstrations faisant appel à divers domaines des mathématiques[4].
Ce théorème est un cas particulier de la conjecture d'Erdős sur les progressions arithmétiques, dont un autre cas résolu est le théorème de Green-Tao.
Application à la théorie des graphes
En théorie des graphes, ce théorème est souvent utilisé sous la forme suivante, couramment appelée « Lemme de régularité de Szemerédi ».
Soit G un graphe non orienté, X et Y deux sous-ensembles (non nécessairement disjoints). La densité du couple (X,Y) est la quantité suivante :
,
où E(X,Y) désigne l'ensemble des arêtes reliant un sommet de X à un sommet de Y. Pour tout ε > 0, un couple (X,Y) est dit ε-régulier, si pour tous les sous-ensembles A de X et B de Y, tels que
et
, on a :Le lemme de régularité peut alors s'énoncer ainsi (bien qu'il en existe de nombreuses variantes) :
« Pour tout ε > 0 et tout entier positif m, il existe un entier M tel que si G est un graphe contenant M arêtes, il existe un entier k compris entre m et M tel qu'on puisse faire une k-partition ε-régulière des sommets de G. »
Notes et références
- Jean-Paul Thouvenot, « La démonstration de Furstenberg du théorème de Szemerédi sur les progressions arithmétiques », dans Séminaire Bourbaki, no 518, 1978, p. 221-232 [texte intégral]
- (en) Robert A. Rankin, « Sets of integers containing not more than a given number of terms in arithmetical progression », dans Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, vol. 65, 1962, p. 332–344
- (en) Jean Bourgain, « On triples in arithmetic progression », dans Geom. Func. Anal., vol. 9, 1999, p. 968–984
- Dans son post du 13/02/2010 (en) sur son blog, Terence Tao n'en recense pas moins de 16
Catégorie :- Théorème de mathématiques
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