Théorème de Vaschy-Buckingham

En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham^[1]^,^[2], ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle. Ce théorème établit que si une équation physique met en jeu n variables physiques, celles-ci dépendant de k unités fondamentales, alors il existe une équation équivalente mettant en jeu $p = n - k$ variables sans dimension construites à partir des variables originelles.

Sommaire

1 Énoncé de Vaschy^[1]
2 Démonstration de Vaschy^[1]
3 Généralisation
4 Origine du nom "Théorème Π"
5 Exemple d'application
- 5.1 Démonstration de la 3^e loi de Kepler
6 Références
7 Voir aussi

Énoncé de Vaschy^[1]

Soit $a 1$ , $a 2$ , $a 3$ ,… $a n$ des quantités physiques, dont les $p$ premières sont rapportées à des unités fondamentales distinctes et les $(n - p)$ dernières à des unités dérivées des $p$ unités fondamentales (par exemple $a 1$ peut être une longeur, $a 2$ une masse, $a 3$ un temps, et les $(n - 3)$ autres quantités $a 4$ , $a 5$ ,… $a n$ seraient des forces, des vitesses, etc.; alors $p = 3$ ). Si entre ces $n$ quantités il existe une relation :

$F(a_1,a_2,\ldots a_n)=0,$

qui subsiste quelles que soient les grandeurs arbitraires des unités fondamentales, cette relation peut se ramener à une autre en $(n - p)$ paramètres au plus, soit:

$f(x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0,$

les paramètres $x 1$ , $x 2$ ,… $x n$ étant des fonctions monomes de $a 1$ , $a 2$ ,… $a n$ (par exemple $x_1=Aa_1^{\alpha1}a_2^{\alpha2}\ldots a_n^{\alpha n}$ ).

Démonstration de Vaschy^[1]

Pour démontrer le théorème précédemment énoncé, remarquons que les quantités $a p + 1$ , $a p + 2$ ,… $a n$ étant rapportées à des unités dérivées, cela revient à dire que l'on peut trouver des exposants $α$ , $β$ ,… $α'$ , $β'$ … tels que les valeurs numériques des rapports

$\frac{a_{p+1}}{a_1^\alpha a_2^\beta \ldots a_p^{\lambda}}=x_1,\ \ \frac{a_{p+2}}{a_1^{\alpha'}a_2^{\beta'}\ldots a_p^{\lambda'}}=x_2,\ldots,$

soient indépendantes des valeurs arbitraires des unités fondamentales. (Ainsi $a 1$ , $a 2$ , $a 3$ , $a 4$ désignant respectivement une longueur, une masse, un temps et une force, le rapport $\frac{a_4}{a_1a_2a_3^{-2}}$ auraient une valeur indépendante du choix des unités). Or, la relation:

$F(a_1,a_2,\ldots a_p,a_{p+1},a_{p+2},\ldots)=0,$

peut s'écrire:

$F(a_1,a_2,\ldots a_p,x_1a_1^\alpha a_2^\beta \ldots a_p^{\lambda},x_2a_1^{\alpha'}a_2^{\beta'}\ldots a_p^{\lambda'},\ldots)=0,$

ou plus simplement

$f(a_1,a_2,\ldots a_p,x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0.$

Mais, en faisant varier les grandeurs des unités fondamentales, on pourra faire varier arbitrairement les valeurs numériques des quantités $a 1$ , $a 2$ ,… $a p$ dont les grandeurs intrinsèques sont supposées fixes, tandis que les valeurs numériques de $x 1$ , $x 2$ ,… $x n - p$ ne changeront point. La relation précédente devant subsister quelles que soient les valeurs arbitraires de $a 1$ , $a 2$ ,… $a p$ , doit être indépendantes de ces paramètres; cette relation prend ainsi la forme la plus simple:

$f(x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0.$

Généralisation

Dans l'énoncé de Vaschy, les $p$ premières grandeurs doivent être rapportées à des unités fondamentales distinctes. La généralisation consiste simplement à considérer que les $p$ premières grandeurs sont dimensionnellement indépendantes, i.e. les dimension de ces quantités ne peut être écrite comme une fonction monome des dimensions des autres quantités. Par exemple prenons 4 grandeurs physiques, une densité volumique $ρ$ , une aire $A$ , une vitesse $V$ et une accélération $a$ . Les variables $ρ$ , $A$ et $V$ sont dimensionnellement indépendante par contre les variables $A$ , $V$ et $a$ ne le sont pas car $[a] = [V] 2 [A] - 1 / 2$ ^[3].

Origine du nom "Théorème $Π$ "

Ce théorème est aussi nommé "Théorème $Π$ " car il est d'usage en physique d'utiliser la lettre $Π$ pour les variables physiques adimensionnelles qui ne sont pas baptisées comme le sont les nombres de Reynolds, Prandtl ou de Nusselt. Cette pratique a probablement pour origine l'article de Buckingham^[2].

Exemple d'application

Démonstration de la 3^e loi de Kepler

Soit un objet de masse $m p$ (une planète), en orbite elliptique de demi grand axe $a$ et de période $T$ autour d'un objet de masse $m s$ (Soleil), masse beaucoup plus élevé que la masse du premier objet de tel sorte que l'on puisse considérer que ce dernier est fixe dans l'espace. Nous cherchons à obtenir une relation liant la période de rotation à la longueur du demi grand axe.

D'après la loi de la gravitation universelle, en notant $\mathbf{r}$ , le vecteur ayant pour origine le soleil et extrémité la planète, on a la relation :

$\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = -\frac{G\cdot m_s\cdot \mathbf{r}}{\Vert\mathbf{r}\Vert^3}.$

On en déduit donc que notre problème est indépendant de la masse de la planète, $m p$ .

Ainsi notre problème peut s'écrire sous la forme :

f (m s, G, T, a) = 0

Nous avons donc un problème dépendant de 4 paramètres physiques dépendants de 3 unités fondamentales (ou dimensions) : la masse, $\mathcal{M}$ ; le temps, $\mathcal{T}$ ; la longueur $\mathcal{L}$ . Notre problème dépend donc d'une seule variable adimensionnelle que l'on peut nommer $Π$ .

Les dimensions des 4 variables physiques sont:

$[m_s]=\mathcal{M}$
$[G]=\mathcal{L}^3\mathcal{M}^{-1}\mathcal{T}^{-2}$
$[T]=\mathcal{T}$
$[a]=\mathcal{L}$

On peut donc choisir $\Pi=\frac{G\cdot T^2\cdot m_s}{a^3}$ , et notre problème peut s'écrire:

F (Π) = 0

Donc $\frac{G\cdot T^2\cdot m_s}{a^3}$ est une constante, valable dans tout système planétaire où la masse de l'étoile est très grande devant celle des planètes et où les planètes décrivent des trajectoires elliptiques.

Références

↑ ^{a, b et c} Vaschy, A. (1892): "Sur les lois de similitude en physique". Annales Télégraphiques 19, 25-28
↑ ^{a et b} Buckingham, E. (1914): "On physically similar systems. Illustrations of the use of dimensional equations". Physical Review 4, 345-376
↑ Barenblatt, G.I. (1996): "Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics"

Généralisation du théorème dans le cas de classes de problèmes où certaines variables sont fixes

Voir aussi

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