Théorème Pi

Théorème Pi

Théorème de Buckingham

En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham, ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle.

Sommaire

Énoncé

Une équation physique complète, de la forme générale…

f(q_1, q_2, \cdots, q_n)= 0

où les qi représentent n variables physiques choisies pour la description du problème, exprimées en termes de k unités physiques indépendantes, peut être réécrite sous la forme:

F(\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_p)=0

où les πi sont des nombres sans dimension construits à partir des qi par p = n − k équations de la forme:

\pi_i=q_1^{m_1}q_2^{m_2}\ldots q_n^{m_n}

où les mi sont des constantes.

Démonstration de la 3e loi de Kepler

Le théorème de Buckingham suppose grossièrement que toutes les lois de la physique restent valables quelle que soit l'échelle utilisée, c'est-à-dire en particulier même après un étirement des longueurs et du temps.

Supposons donc que l'on étire les longueurs (notées r) de α et le temps (noté t) de β. On pose alors

r'=\alpha r\, et t'=\beta t\,.

Soient une particule fixe de masse M et une particule mobile de masse m (m < < M) soumise uniquement à la force gravitationnelle de la particule de masse M. En écrivant le principe fondamental de la dynamique selon un axe reliant le centre des deux particules, on a:

m\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{GMm}{r^2}\,

D'après le théorème de Buckingham, on devrait avoir également

m\frac{d^2r'}{dt'^2} = \frac{GMm}{r'^2}\,

Soit en remplaçant:

m\frac{d^2\alpha r}{d\beta^2 t^2} = \frac{GMm}{\alpha^2 r^2}\,

Soit nécessairement :

\frac{\beta^2}{\alpha^3}=cte\,

pour obtenir l'équation initiale.

On retrouve alors bien la troisième loi de Kepler (β étant associé au temps et α aux longueurs).

Références

  • Buckingham, E. (1914) Phys. Rev. 4, 345-376. Et une généralisation de ce théorème dans le cas de classes de problèmes où certaines variables sont fixes : [1]

Voir aussi

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