Pseudosphère

Pseudosphère

En géométrie, le terme de pseudosphère est utilisé pour décrire diverses surfaces dont la courbure de Gauss est constante et négative. Selon le contexte, il peut se référer soit à une surface théorique de courbure négative (une variété riemannienne), soit à une surface effectivement réalisée de l'espace, telle qu'un tractricoïde ou un hyperboloïde.

Sommaire

Pseudosphères théoriques

Dans son acceptation la plus générale, une pseudosphère de rayon R est une surface (complète et simplement connectée) de courbure −1⁄R2, par analogie à la sphère de diamètre R dont la courbure est 1⁄R2. Le terme a été introduit par Eugenio Beltrami en 1868 dans son article sur un modèle de géométrie hyperbolique[1].

Tractricoïde

Tractricoïde

Le terme est également utilisé pour désigner une surface appelée « tractricoïde » ; c'est le résultat de la révolution d'un tractrice le long de son asymptote. Un exemple de ce type d'objet est la (demi) pseudosphère (de rayon 1) engendrée par la surface de révolution d'une tractrice paramétrisé par[2]

t \mapsto \left( t - \tanh{t}, \operatorname{sech}\,{t} \right), \quad \quad 0 \le t < \infty.

Cette surface présente une singularité à l'« équateur », mais en dehors de celui-ci, elle est de courbure constante négative, et est donc localement isométrique à un plan hyperbolique.

Le nom de « pseudosphère » lui est donné par analogie avec la sphère. Il s'agit en effet d'une surface de courbure constante négative, tandis que la sphère est une surface de courbure constante positive.

Au début des années 1639 Christian Huygens démontra que le volume et la surface des pseudosphères étaient finis[3] malgré l'extension infinie de la surface le long de son axe de rotation. Pour un rayon donné R, l'aire est de 4πR2, comme pour la sphère, alors que le volume est de (2⁄3)πR3, soit la moitié du volume d'une la sphère de même rayon[4],[5].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Pseudosphere » (voir la liste des auteurs)

  1. ↑ (it) Eugenio Beltrami, « Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea », dans Gior. Mat., vol. 6, 1868, p. 248–312 . Voir également, du même auteur : (it) Opere Matematiche, vol. 1, 374–405 p. (ISBN 1-4181-8434-9)  et « Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne », dans Ann. École Norm. Sup. 6, 1869, p. 251–288 [texte intégral] .
  2. ↑ (en) Francis Bonahon, Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots, AMS Bookstore, 2009 (ISBN 0-8218-4816-X) [lire en ligne], p. 108 
  3. ↑ Olvi L. Mangasarian et Jong-Shi Pang, Computational optimization: a tribute to Olvi Mangasarian, Volume 1, Springer, 1999 (ISBN 0-7923-8480-6) [lire en ligne], p. 324 
  4. ↑ François Le Lionnais, Great Currents of Mathematical Thought, vol. II, Mathematics in the Arts and Sciences, Courier Dover Publications, 2004 (ISBN 0-486-49579-5) [lire en ligne], p. 154 
  5. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Pseudosphere », MathWorld

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