Pseudosphère

Pseudosphère

En géométrie, le terme de pseudosphère est utilisé pour décrire diverses surfaces dont la courbure de Gauss est constante et négative. Selon le contexte, il peut se référer soit à une surface théorique de courbure négative (une variété riemannienne), soit à une surface effectivement réalisée de l'espace, telle qu'un tractricoïde ou un hyperboloïde.

Sommaire

Pseudosphères théoriques

Dans son acceptation la plus générale, une pseudosphère de rayon R est une surface (complète et simplement connectée) de courbure −1⁄R2, par analogie à la sphère de diamètre R dont la courbure est 1⁄R2. Le terme a été introduit par Eugenio Beltrami en 1868 dans son article sur un modèle de géométrie hyperbolique[1].

Tractricoïde

Tractricoïde

Le terme est également utilisé pour désigner une surface appelée « tractricoïde » ; c'est le résultat de la révolution d'un tractrice le long de son asymptote. Un exemple de ce type d'objet est la (demi) pseudosphère (de rayon 1) engendrée par la surface de révolution d'une tractrice paramétrisé par[2]

t \mapsto \left( t - \tanh{t}, \operatorname{sech}\,{t} \right), \quad \quad 0 \le t < \infty.

Cette surface présente une singularité à l'« équateur », mais en dehors de celui-ci, elle est de courbure constante négative, et est donc localement isométrique à un plan hyperbolique.

Le nom de « pseudosphère » lui est donné par analogie avec la sphère. Il s'agit en effet d'une surface de courbure constante négative, tandis que la sphère est une surface de courbure constante positive.

Au début des années 1639 Christian Huygens démontra que le volume et la surface des pseudosphères étaient finis[3] malgré l'extension infinie de la surface le long de son axe de rotation. Pour un rayon donné R, l'aire est de 4πR2, comme pour la sphère, alors que le volume est de (2⁄3)πR3, soit la moitié du volume d'une la sphère de même rayon[4],[5].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Pseudosphere » (voir la liste des auteurs)

  1. ↑ (it) Eugenio Beltrami, « Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea », dans Gior. Mat., vol. 6, 1868, p. 248–312 . Voir également, du même auteur : (it) Opere Matematiche, vol. 1, 374–405 p. (ISBN 1-4181-8434-9)  et « Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne », dans Ann. École Norm. Sup. 6, 1869, p. 251–288 [texte intégral] .
  2. ↑ (en) Francis Bonahon, Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots, AMS Bookstore, 2009 (ISBN 0-8218-4816-X) [lire en ligne], p. 108 
  3. ↑ Olvi L. Mangasarian et Jong-Shi Pang, Computational optimization: a tribute to Olvi Mangasarian, Volume 1, Springer, 1999 (ISBN 0-7923-8480-6) [lire en ligne], p. 324 
  4. ↑ François Le Lionnais, Great Currents of Mathematical Thought, vol. II, Mathematics in the Arts and Sciences, Courier Dover Publications, 2004 (ISBN 0-486-49579-5) [lire en ligne], p. 154 
  5. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Pseudosphere », MathWorld

Liens externes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Pseudosphère de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Pseudosphere — Pseu do*sphere , n. [Pseudo + sphere.] (Geom.) The surface of constant negative curvature generated by the revolution of a tractrix. This surface corresponds in non Euclidian space to the sphere in ordinary space. An important property of the… …   The Collaborative International Dictionary of English

  • Pseudosphere — In geometry, a pseudosphere of radius R is a surface of curvature −1/ R 2 (precisely, a complete, simply connected surface of that curvature), by analogy with the sphere of radius R , which is a surface of curvature 1/ R 2. The term was… …   Wikipedia

  • pseudosphere — pseudospherical /sooh deuh sfer i keuhl, sfear /, adj. /sooh deuh sfear /, n. Geom. a surface generated by revolving a tractrix about its asymptote. [1885 90; PSEUDO + SPHERE] * * * …   Universalium

  • pseudosphere — noun A surface generated by rotating a tractrix about its asymptote See Also: pseudospherical …   Wiktionary

  • pseudosphere — pseu·do·sphere …   English syllables

  • pseudosphere — ˈsüdō+ˌ noun Etymology: International Scientific Vocabulary pseud + sphere: probably originally formed as Italian pseudosfera : a surface of constant negative curvature (as generated by the revolution of a tractrix about its axis) * * *… …   Useful english dictionary

  • Logic and the philosophy of mathematics in the nineteenth century — John Stillwell INTRODUCTION In its history of over two thousand years, mathematics has seldom been disturbed by philosophical disputes. Ever since Plato, who is said to have put the slogan ‘Let no one who is not a geometer enter here’ over the… …   History of philosophy

  • Tractrix — (from the Latin verb trahere pull, drag ), or tractrice, is the curve along which a small object moves, under the influence of friction, when pulled on a horizontal plane by a piece of thread and a puller that moves at a right angle to the… …   Wikipedia

  • Differential geometry of surfaces — Carl Friedrich Gauss in 1828 In mathematics, the differential geometry of surfaces deals with smooth surfaces with various additional structures, most often, a Riemannian metric. Surfaces have been extensively studied from various perspectives:… …   Wikipedia

  • Demi-plan De Poincaré — Le demi plan de Poincaré est un sous ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d éclairer les travaux du Russe Nicolaï Lobatchevski. Sommaire 1 Le demi plan de Poincaré (1882) 1.1 Géométrie …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”