Parapluie de Whitney

Parapluie de Whitney
Illustration du parapluie de Whitney

Le parapluie de Whitney est une surface présentant des auto-intersections dans l'espace ambiant. Elle doit son nom au mathématicien américain Hassler Whitney qui a étudié cet objet au travers de ses travaux sur les singularités d'applications différentiables.

Sommaire

Formules

Les équations paramétriques de cette surface sont données en coordonnées cartésiennes par

\begin{align} x(u,v) & = uv \\ y(u,v) & = u \\ z(u,v) & = v^2 \end{align}

où les paramètres u et v sont des réels. Cette surface est également donnée par la fonction implicite:

x2 = y2z

Cette formule inclut aussi l'axe des z dans la surface (aussi appelé poignée du parapluie).

Propriétés

La construction du parapluie de Whitney en tant que surface réglée

Il s'agit d'un objet d'étude important en théorie des singularités. Les applications génériques opérant sur des 2-variétés et à valeur dans l'espace ne présente que 2 types de singularités stables : les lignes où se recoupent la surface et le parapluie de Whitney (plus précisément le point inférieur). On doit à Whitney lui-même cette classification.

Le parapluie de Whitney est une surface réglée. D'autre part, le parapluie de Whitney est un conoïde droit de directrice une parabole d'axe parallèle à son axe.

See also

Références


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Parapluie de Whitney de Wikipédia en français (auteurs)

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