Mouvement brownien fractionnaire

Mouvement brownien fractionnaire

Le mouvement Brownien fractionnaire (mBf) a été introduit par Kolmogorov en 1940 comme moyen d'engendrer des "spirales" gaussiennes dans des espaces de Hilbert.

Mandelbrot et Van Ness (1968) l'ont rendu célèbre en l'introduisant dans des modèles financiers et en étudiant ces propriétés. Le champ des applications du mBf est immense. En effet, il sert par exemple à recréer certains paysages naturels, notamment des montagnes, mais également en hydrologie, télécommunications, économie, physique, ...

Sommaire

Rudiments mathématiques

Définition du mBf

Le mouvement Brownien fractionnaire d'exposant de Hurst \alpha \in (0,1), noté \{B_{\alpha}(t)\}_{t\in \mathbb{R}}, est l'unique processus Gaussien centré et continu dont la covariance est donnée par:

\mathbb{E} (B_{\alpha}(s)B_{\alpha}(t)) = \frac{C_{\alpha}}{2}(|s|^{2\alpha}+|t|^{2\alpha}-|s-t|^{2\alpha}),

où Cα = Var(Bα(1)) est une constante positive qui ne dépend que de α . Lorsque Cα = 1, nous obtenons le mBf standard. Le mBf est l'une des généralisations les plus naturelles du Brownien. En effet,

  1. Lorsque α > 1 / 2, Bα est une primitive fractionnaire du mouvement brownien.
  2. lorsque α < 1 / 2, il est une dérivée fractionnaire du mouvement brownien.
  3. B1 / 2 se réduit a un mouvement brownien.

Deux Représentations équivalentes du mBf

Représentation par moyenne mobile du mBf

Dans les travaux de Mandelbrot et Van Ness (1968), le Mouvement Brownien Fractionnaire est défini, à une constante multiplicative près, par l'intégrale de Wiener suivante :

B_{\alpha}(s):=\int_{\mathbb{R}} \left[ (t-s)_{+}^{\alpha-1/2}-(-s)_{+}^{\alpha-1/2} \right] \rm{dB(s)},

où x + = max{x,0} et dB est un bruit blanc réel.

Représentation Harmonisable du mBf

Samorodnitsky et Taqqu (1994) ont montré que le Mouvement Brownien Fractionnaire Bα(s) peut être représentée par l'intégrale stochastique suivante :

B_{\alpha}(s):=\int_{\mathbb{R}}\frac{e^{is\xi}-1}{|\xi|^{\alpha+1/2}} \widehat{\rm{dB}}(\xi).

ou bien

B_{\alpha}(s):=\int_{\mathbb{R}}\frac{e^{is\xi}-1}{i \xi |\xi|^{\alpha-1/2}}\widehat{\rm{dB}}(\xi).

\widehat{\rm{dB}} est la Transformée de Fourier du bruit blanc dB à valeurs réelles : pour tout f\in L^2(\mathbb{R}),

\int_{\mathbb{R}}f(s) \rm{dB}(s)=\int_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi) \widehat{\rm{dB}}(\xi).

Propriétés principales du mBf

  • Auto-similarité du mBf Le mBf de paramètre de Hurst α est un processus α-auto similaire : ce qui signifie que

\forall a>0, \{B_{\alpha}(at)\}_{t\in\mathbb{R}}\stackrel{loi}{=}\{a^{\alpha}B_{\alpha}(t)\}_{t\in\mathbb{R}}.

  • A accoissements stationnaires Le mBf est un processus à accroissements stationnaires : c'est-à-dire

\forall s\in\mathbb{R}, \lbrace B_{\alpha}(t+s)-B_{\alpha}(s) \rbrace_{t\in\mathbb{R}} \stackrel{loi}{=} \lbrace B_{\alpha}(t) - B_{\alpha}(0) \rbrace_{t\in\mathbb{R}}.

  • Longue dépendance Lorsque α > 1 / 2, le mBf possède la propriété de longue dépendance. Cette propriété

est décrite de manière suivante :

\forall j\in\mathbb{Z}, Z_{\alpha} = B_{\alpha}(j+1)-B_{\alpha}(j),

ensuite posons

\forall (i,j) \in \mathbb{Z}^2, \Gamma(i-j)= \mathbb{E}\Big\{Z_{\alpha}(i) Z_{\alpha}(j)\Big\}

alors

\sum_{p\in\mathbb{Z}} \Big| \Gamma(p) \Big| = +\infty

Cela signifie que les valeurs du mBf entre deux temps espacés ont une petite corrélation mais non négligeable (non sommable!).

Régularité Höldérienne du mBf

L'objectif de cette section, est de donner les éléments qui permettent de connaitre plus précisément la régularité du mBf. Pour cela, on introduit la quantité suivante :

Exposant de Hölder uniforme

Soient \lbrace Y(t) \rbrace_{t\in\mathbb{R}} un processus stochastique possédant des trajectoires continues, nulle-part dérivables et [a,b] un intervalle compact de \mathbb{R}. On définit l'exposant de Hölder uniforme de Y sur [a,b], noté (EHU), par

h_Y([a,b])=\sup \left\{h \geq 0 : \sup_{x_1,x_2\in[a,b]}\frac{|Y(x_1)-Y(x_2)|}{|x_1-x_2|^{h}}< +\infty \right\}.

Cet exposant vérifie la propriété suivante : sur tout intervalle compact [a,b] \subset \mathbb{R} , avec probabilité 1 0\leq h_Y([a,b])\leq 1.

Interprétation : Plus cet exposant, hY([a,b]), est proche de 1, plus le processus est régulier sur le segment [a,b].

Dans le cas du mBf, Bα, l'exposant de Hölder uniforme h_{B_{\alpha}} vérifie, avec probabilité 1, pour tout [a,b]\subset \mathbb{R} ,

h_{B_{\alpha}}([a,b])=\alpha.

Les graphes suivants montrent que la régularité uniforme du mBf peut être prescrite via son paramètre de Hurst α.

Estimation de l'exposant de Hölder uniforme du mBf

Dans cette section, nous introduisons un estimateur de l'exposant de Hölder uniforme α du mBf Bα à partir des observations d'une trajectoire discrétisée sur l'intervalle [0,1]. Plus précisément, soit N\in\mathbb{N} , supposons que nous observons le mBf standard B_{H}(i/N),i=0,\ldots,N .

Idée pour un mBf standard, nous avons pour tous s,t\in\mathbb{R} ,

\mathbb{E}\Big(|B_{\alpha}(t)-B_{\alpha}(s)|^2\Big)=|t-s|^{2\alpha}.

Il résulte du Théorème ergodique et la continuité de trajectoire du mBf que

\frac{\sum_{i=0}^{N-1}\Big(B_{\alpha}(\frac{i+1}{N})-B_{\alpha}(\frac{i}{N})\Big)^2}{N^{1-2\alpha}}\xrightarrow[N\rightarrow+\infty]{p.s.}1.

Construction de l'estimateur : notons par

V_N:=\sum_{i=0}^{N-1}\Big(B_{\alpha}(\frac{i+1}{N})-B_{\alpha}(\frac{i}{N})\Big)^2,

alors

\hat{\alpha}_N:=\frac{1}{2}\Big(1-\frac{\log(V_N)}{\log(N)}\Big)

est un estimateur fortement consistant de α : nous avons

\hat{\alpha}_N\xrightarrow[N\rightarrow+\infty]{p.s.}\alpha.

Voir aussi

Bibliographie

  • Benassi, Albert and Cohen, Serge and Istas, Jacques, Identification and properties of real harmonizable fractional Lévy motions, Bernoulli, 8, 1, 97-115, 2002.
  • Doukhan, Paul (ed.) and Oppenheim, George (ed.) and Taqqu, Murad S.(ed.), Theory and applications of long-range dependence., Boston, Birkhäuser. x, 2003.
  • Embrechts, Paul and Maejima, Makoto, Selfsimilar processes.,Princeton, NJ: Princeton University Press.,2002.
  • A. N. Kolmogorov, The Wiener spiral and some other interesting curves in Hilbert space, Dokl. Akad. Nauk SSSR. 26:2 (1940), 115–118. (Russian)
  • Mandelbrot, B.B. and Van Ness, J.W., Fractional Brownian motions, fractional noises and applications., SIAM Rev., 10, 422-437, 1968.
  • Samorodnitsky, Gennady and Taqqu, Murad S., Stable non-Gaussian random processes : stochastic models with infinite variance., Stochastic Modeling. New York, NY: Chapman & Hall., 1994.
  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques

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