Lemme d'évitement des idéaux premiers

En algèbre commutative, le lemme d'évitement s'énonce comme suit:

Théorème — Soit $A$ un anneau commutatif. Soit $I$ un idéal de $A$ contenu dans la réunion d'un nombre fini d'idéaux premiers $P_1,\ldots, P_n$ . Alors $I$ est contenu dans l'un des idéaux premiers $P i$ .

Démonstration

On procède par récurrence sur

n

. C'est immédiat pour

n = 2

(c'est une propriété vraie pour les sous-groupes en général). Supposons la propriété montrée en

n - 1

et que

I

n'est contenu dans aucun des

P i

. On peut supposer qu'aucun

P i

n'est contenu dans la réunion des autres

P j

(sinon on se ramène à

n - 1

idéaux premiers). Par hypothèse de récurrence, pour tout $i\le n$ , il existe

x i

dans

I

et n'appartenant pas à la réunion des autres

P j

. On a alors $x_i\in P_i$ . Considérons l'élément $x=x_n+x_1.x_2\dots x_{n-1}$ de

I

. Alors

x

appartient à un

P k

. Si

k = n

, on a $x_n\in P_n$ et $x_1\dots x_{n-1}\notin P_n$ (car les

P i

sont premiers). Impossible. Donc $k\le n-1$ . Mais alors $x_n\notin P_k$ et $x_1\dots x_{n-1}\in P_k$ . Contradiction. Donc

I

est contenu dans un des

P i

Il existe une version pour les anneaux gradués.

Théorème — Soit $B$ un anneau commutatif unitaire gradué. Soient $P_1,\ldots, P_n$ des idéaux premiers de $B$ et $I$ un idéal homogène de $B$ engendré par des éléments homogènes de degrés strictement positifs. Supposons que tout élément homogène de $I$ appartient à la réunion des $P i$ . Alors $I$ est contenu dans l'un des $P i$ .

Le lemme d'évitement est en général utilisé sous la forme de sa contraposée: si un idéal $I$ n'est contenu dans aucun des idéaux premiers $P i$ , alors il existe un élément de $I$ n'appartenant à aucun des $P i$ .

En géométrie algébrique, ce lemme dit que dans un schéma affine $Spec A$ , si on se donne un nombre fini de points $x_1,\ldots, x_n$ en dehors d'un fermé $V (I)$ , alors ces points restent en dehors d'un fermé principal $V (f)$ contenant $V (I)$ . La version du lemme d'évitement pour les anneaux gradués implique que dans une variété projective, tout ensemble fini de points est contenu dans un ouvert affine.

Contre-exemple. Voici un exemple qui montre que le lemme d'évitement est faux pour les idéaux en général. Soit $A={\mathbb Z}[X,Y]$ et considérons les idéaux $I = 2 A + X A + Y A$ et

$J_1=2A+X^2A+YA, \, J_2=2A+XA+Y^2A, \, J_3=2A+(X+Y)A+X^2A+Y^2A+XYA$ .

Alors $I$ est contenu dans la réunion des $J i$ (cela peut se vérifier dans l'anneau quotient $A / (2 A + X 2 A + Y 2 A + X Y A)$ qui est un anneau local à 4 éléments), mais $I$ n'est contenu dans aucun des $J i$ .

Notes Si $A$ contient un sous-corps infini ou si c'est un anneau principal, alors dans le lemme d'évitement des idéaux premiers, on peut prendre pour $P i$ des idéaux quelconques.

Résultats similaires dans d'autres structures

Dans un groupe, si un sous-groupe est contenu dans la réunion de deux autres sous-groupes, alors il est contenu dans l'un d'eux.

Dans un espace vectoriel sur un corps infini, si un sous-espace vectoriel $E$ est contenu la réunion d'un nombre fini d'autres sous-espaces vectoriels $F_1,\ldots, F_n$ , alors $E$ est contenu dans l'un des $F i$ .

Le même résultat vaut pour les espaces affines sur un corps infini.

Références

(en) H. Matsumura, Commutative Algebra, Benjamin/Cummings Publ. Co., 1980, page 2.
(en) W. Bruns & J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge Univ. Press, 1993, page 34.

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