- Lemme d'évitement des idéaux premiers
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En algèbre commutative, le lemme d'évitement s'énonce comme suit:
Théorème — Soit A un anneau commutatif. Soit I un idéal de A contenu dans la réunion d'un nombre fini d'idéaux premiers . Alors I est contenu dans l'un des idéaux premiers Pi.
DémonstrationOn procède par récurrence sur n. C'est immédiat pour n = 2 (c'est une propriété vraie pour les sous-groupes en général). Supposons la propriété montrée en n − 1 et que I n'est contenu dans aucun des Pi. On peut supposer qu'aucun Pi n'est contenu dans la réunion des autres Pj (sinon on se ramène à n − 1 idéaux premiers). Par hypothèse de récurrence, pour tout , il existe xi dans I et n'appartenant pas à la réunion des autres Pj. On a alors . Considérons l'élément de I. Alors x appartient à un Pk. Si k = n, on a et (car les Pi sont premiers). Impossible. Donc . Mais alors et . Contradiction. Donc I est contenu dans un des Pi.Il existe une version pour les anneaux gradués.
Théorème — Soit B un anneau commutatif unitaire gradué. Soient des idéaux premiers de B et I un idéal homogène de B engendré par des éléments homogènes de degrés strictement positifs. Supposons que tout élément homogène de I appartient à la réunion des Pi. Alors I est contenu dans l'un des Pi.
Le lemme d'évitement est en général utilisé sous la forme de sa contraposée: si un idéal I n'est contenu dans aucun des idéaux premiers Pi, alors il existe un élément de I n'appartenant à aucun des Pi.
En géométrie algébrique, ce lemme dit que dans un schéma affine SpecA, si on se donne un nombre fini de points en dehors d'un fermé V(I), alors ces points restent en dehors d'un fermé principal V(f) contenant V(I). La version du lemme d'évitement pour les anneaux gradués implique que dans une variété projective, tout ensemble fini de points est contenu dans un ouvert affine.
Contre-exemple. Voici un exemple qui montre que le lemme d'évitement est faux pour les idéaux en général. Soit et considérons les idéaux I = 2A + XA + YA et
- .
Alors I est contenu dans la réunion des Ji (cela peut se vérifier dans l'anneau quotient A / (2A + X2A + Y2A + XYA) qui est un anneau local à 4 éléments), mais I n'est contenu dans aucun des Ji.
Notes Si A contient un sous-corps infini ou si c'est un anneau principal, alors dans le lemme d'évitement des idéaux premiers, on peut prendre pour Pi des idéaux quelconques.
Résultats similaires dans d'autres structures
- Dans un groupe, si un sous-groupe est contenu dans la réunion de deux autres sous-groupes, alors il est contenu dans l'un d'eux.
- Dans un espace vectoriel sur un corps infini, si un sous-espace vectoriel E est contenu la réunion d'un nombre fini d'autres sous-espaces vectoriels , alors E est contenu dans l'un des Fi.
- Le même résultat vaut pour les espaces affines sur un corps infini.
Références
- (en) H. Matsumura, Commutative Algebra, Benjamin/Cummings Publ. Co., 1980, page 2.
- (en) W. Bruns & J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge Univ. Press, 1993, page 34.
Catégories :- Algèbre commutative
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