Lemme de Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz

Lemme de Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz

En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, le lemme de Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz, ou lemme KKM, est un résultat de point fixe publié en 1929 par Bronisław Knaster (en), Kazimierz Kuratowski et Stefan Mazurkiewicz[1].

Énoncé

Lemme KKM : Si un simplexe Sm est réunion des ensembles fermés Ci pour i \in I=\{1,\dots,m\} et que pour tout I_k \subset I, la face de S engendrée par ei pour i \in I_k est contenue dans la réunion des Ci pour i \in I_k, alors les Ci ont une intersection non vide.

Donnons une illustration dans le cas m=3. Le simplexe S3 est un triangle, de sommets numérotés 1, 2 et 3. Le triangle est contenu dans la réunion des trois fermés C1,C2,C3 ; le sommet i appartient à Ci, le côté 12 (allant du sommet 1 au sommet 2) est contenu dans la réunion de C1 etC2, le côté 23 dans la réunion de C2 et C3, et le côté 31 dans la réunion de C3 et C1. Le lemme affirme que les trois ensembles C1,C2,C3 ont au moins un point en commun.

Le lemme KKM peut se démontrer à partir du lemme de Sperner, et permet de démontrer le théorème du point fixe de Brouwer (auquel il est en fait équivalent).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz lemma » (voir la liste des auteurs)

  1. ↑ (de) B. Knaster, C. Kuratowski et S. Mazurkiewicz, « Ein Beweis des Fixpunktsatzes für n-dimensionale Simplexe », dans Fund. Math., vol. 14, 1929, p. 132–137

Lien externe

(en) KKM lemma de PlanetMath


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Lemme de Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz de Wikipédia en français (auteurs)

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