- Isomorphisme d'ensembles ordonnés
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Un isomorphisme d'ensembles ordonnés ou isomorphisme d'ordres est un type particulier de fonction monotone qui définit une notion d'isomorphisme applicable aux ensembles ordonnés. Quand deux ensembles ordonnés sont isomorphes, ils peuvent être considérés comme « équivalents », au sens ou l'ordre de l'un peut être déterminé à partir de l'ordre de l'autre par simple renommage des éléments. Deux notions voisines, plus faibles, sont l'Order-embedding (en)[Traduire passage] et les Correspondances de Galois
Définition
Soient, deux ensembles ordonnés, (S, ≤S) et (T, ≤T). Un isomorphisme d'ensembles ordonnés de (S, ≤S) vers (T, ≤T) est une surjection h : S → T telle que pour tout u and v in S,
h(u) ≤T h(v) si et seulement si u ≤S v. Dans ce cas, les ensembles S et T sont dits isomorphes. Cette définition présente les isomorphismes d'ordres comme des Order-embedding (en)[Traduire passage] surjectifs. On remarquera que les isomorphismes d'ordre sont également nécessairement injectifs. par conséquent, on peut également caractériser un isomorphisme d'ordre comme une bijection monotone, qui possède une fonction inverse monotone.
Un isomorphisme d'ordre (S, ≤) sur lui-même est appelé automorphisme d'ordre.
Exemples
- la fonction qui fournit l'opposé est un isomorphisme d'ordre de (R,≤) vers (R,≥), car -x ≥ -y si et seulement si x ≤ y.
- La fonction f(x) = x-1 est un automorphisme d'ordre de (R,≤), car x-1 ≤ y-1 si et seulement si x ≤ y.
Voir aussi
- type d'ordre (en)
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