Fonction sous-harmonique

Fonction sous-harmonique

En mathématiques, une fonction sous-harmonique est une fonction définie sur un domaine du plan complexe et à valeurs réelles vérifiant certaines conditions d'harmonicité plus faibles que celles vérifiées par les fonctions harmoniques. C'est une notion introduite en analyse harmonique pour résoudre le problème fondamental dit problème de Dirichlet ; la résolution de ce problème utilisant les fonctions sous-harmoniques est appelée méthode de Perron (en).

Dans un domaine D ouvert, connexe et relativement compact du plan complexe, une fonction u à valeurs dans \mathbf{R}\cup\{-\infty\} est dite sous-harmonique si elle est continue et si pour tout a\in D, il existe un réel r assez petit pour que u satisfasse l'inégalité de la moyenne sur le disque centré en a de rayon r, à savoir :

u(a)\leq\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(a+re^{it})\mathrm{d}t.

Outre l'analogie avec l'égalité de la moyenne, les fonctions sous-harmoniques vérifient un certain nombre de propriétés à comparer avec celles des fonctions harmoniques :

  • le principe du maximum : sur tout partie ω relativement compacte dans D, le maximum de u sur l'adhérence de ω est atteint sur le bord ; et si u admet un maximum global sur D, alors elle est constante. En revanche, il n'y a pas de principe du minimum.
  • les fonctions sous-harmoniques sur D sont caractérisées parmi les fonctions continues comme celles vérifiant le principe du maximum sur tout disque relativement compact dans D.

Le théorème central permettant d'utiliser ces fonctions en analyse harmonique est que si une famille \mathcal{F} de fonctions sous-harmoniques dans un domaine D est stable par maximum (si u,v\in\mathcal{F}, alors \max(u,v)\in\mathcal{F}) et par modifiée de Poisson (si u\in\mathcal{F} et si Δ est un disque relativement compact dans D, de centre a, la modifiée de Poisson de u dans Δ à savoir la fonction \tilde{u} qui vérifie \tilde{u}=u sur D − Δ et sur Δ : \tilde{u}(a+z)=\mathrm{Re}\left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}u(a+e^{it})\mathrm{d}t\right), est encore dans \mathcal{F}), alors la borne supérieure des éléments de \mathcal{F} est soit constamment égal à +\infty, soit une fonction harmonique sur D.

Pour démontrer le principe de Dirichlet, on se place ensuite sur un domaine D dont le bord est régulier, muni d'une fonction continue ϕ sur son bord, et on prend \mathcal{F} la famille des fonctions sous-harmoniques sur D majorées par ϕ sur le bord de D : la borne supérieure de cette famille est alors une solution.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction sous-harmonique de Wikipédia en français (auteurs)

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