Faisceau (de modules)

Faisceau (de modules): Pour les articles homonymes, voir Faisceau.

En mathématique, un faisceau de modules est un faisceau sur un espace localement annelé $(X, O X)$ qui possède une structure de module sur le faisceau structural $O X$ .

Sommaire

1 Définition

2 Exemples

3 Faisceaux quasi-cohérents

4 Faisceaux cohérents

5 Références bibliographiques

Définition

Sur un espace localement annelé $(X, O X)$ , un faisceau de $O X$ -modules (ou un $O X$ -Module) est un faisceau $F$ sur $X$ tel que $F (U)$ soit un $O X (U)$ -module pour tout ouvert $U$ , et que pour tout ouvert $V$ contenu dans $U$ , l'application restriction $F(U)\to F(V)$ soit compatible avec les structures de modules: pour tous $a\in O_X(U), f\in F(U)$ , on a
$(a f) | V = a | V f | V$ .
Les notions de sous- $O X$ -modules et de morphismes de $O X$ -modules sont claires.

Exemples

Le faisceau structural $O X$ est un faisceau de $O X$ -modules. Les sous-modules de $O X$ sont des faisceaux d'idéaux de $O X$ .

Si $f : F\to G$ est un morphisme de faisceaux de $O X$ -modules, alors le noyau, l'image et le conoyau de $f$ sont des faisceaux de $O X$ -modules. Le quotient de $G$ par un

sous- $O X$ -Module est un $O X$ -Module.

Si $I$ est un ensemble d'indice, la somme directe $O_X^{(I)}$ est définie sur chaque ouvert $U$ comme étant $O X (U) (I)$ , la somme directe de copies de $O X (U)$ indexées par $I$ . C'est un faisceau de $O X$ -modules libre. Un faisceau de $O X$ -modules $F$ est dit localement libre (de rang $r$ ) si tout point de $X$ possède un voisinage ouvert sur lequel $F$ est libre (de rang $r$ ).

Si $F, G$ sont des faisceaux de $O X$ -modules, on définit le faisceau des morphismes de $F$ dans $G$ par

$U \mapsto Hom_{O_X(U)}(F(U), G(U))$
(le $O X (U)$ -module des applications linéaires $F(U)\to G(U)$ ). Le dual de $F$ est le faisceau des morphismes de $F$ dans $O X$ .

Le faisceau associé au préfaisceau $U\to F(U)\otimes_{O_X(U)} G(U)$ est noté $F\otimes_{O_X} G$ . Ses germes en $x$ est canoniquement isomorphe à $F_x\otimes_{O_{X,x}} G_x$ .

Soit $g : X\to Y$ un morphisme d'espace localement annelés. Soit $F$ un faisceau de $O X$ -modules. Alors l'image directe $g * F$ est un faisceau de $O Y$ -module.

Soit $G$ un faisceau de $O Y$ -modules. On définit l'image réciproque $g * G$ (à distinguer de l'image réciproque $g - 1 G$ ) comme étant le produit tensoriel $g^{-1}G\otimes_{g^{-1}(O_Y)}O_X$ . On a $(g * G) x$ isomorphe à $G_{f(x)} \otimes_{O_{Y, f(x)}} O_{X,x}$ pour tout $x$ dans $X$ .

Faisceaux quasi-cohérents

On dit qu'un faiseau de $O X$ -modules $F$ est engendré par ses sections globales si pour tout point $x$ de $X$ , l'image de l'homomorphisme canonique $F(X)\to F_x$ engendre $F x$ comme $O X, x$ -module. Cela équivaut à dire qu'il existe un morphisme surjectif de faisceaux de $O X$ -modules $L\to F$ , où $L$ est un faisceau de $O X$ -modules libre.

On dit que $F$ est quasi-cohérent si tout point de $X$ possède un voisinage ouvert dans lequel $F$ est un quotient d'un faisceau de $O X$ -module libre. Cela veut dire donc que tout point $x$ possède un voisinage ouvert $V$ tel que $F | V$ soit engendré par ses sections $F (V)$ .

Faisceaux cohérents

On dit que $F$ est cohérent si tout point $x$ de $X$ possède un voisinage $V$ tel que $F | V$ soit quotient d'un faisceau de $O V$ -modules libre de rang fini (on dit alors que $F$ est de type fini) et si pour tout ouvert $U$ et pour tout morphisme surjectif $O_U^r \to F|_U$ , le noyau est de type fini.

Références bibliographiques

A. Grothendieck et J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique, Chapitre 0, § 4-5.

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Géométrie algébrique
Faisceau

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