Ensemble définissable

Ensemble définissable


En mathématiques, un ensemble définissable est une relation m-aire sur le domaine d'une structure dont les éléments sont précisément ceux qui satisfont une formule donnée dans le langage de la structure. Un ensemble E peut être défini avec ou sans paramètres, lesquels sont des éléments du domaine, qui peuvent être référencés dans la formule.

Définition

Soient \mathcal{L} un langage du premier ordre, \mathcal{M} une \mathcal{L}-structure de domaine M, X \subset M, et m un nombre entier naturel. Alors :

  • Un ensemble E\subseteq M^m est définissable en \mathcal{M} avec paramètres dans X si et seulement s'il existe une formule \varphi[x_1,\ldots,x_m,y_1,\ldots,y_n] et b_1,\ldots,b_n\in X tels que pour tous a_1,\ldots,a_m\in M,
(a_1,\ldots,a_m)\in E \leftrightarrow \mathcal{M}\models\varphi[a_1,\ldots,a_m,b_1,\ldots,b_n]
  • Un ensemble E est définissable en \mathcal{M} sans paramètres s'il est définissable dans \mathcal{M} avec X=Ø, aucun paramètre n'apparaît dans la formule définissante.
  • Une fonction est définissable dans \mathcal{M} (avec paramètres) si son graphe est définissable (avec ces paramètres).
  • Un élément a de M est définissable (avec paramètres) si son singleton {a} est définissable (avec ces paramètres).

Théorème de Beth

On définit, pour une propriété, les notions d'être implicitement ou explicitement définissable dans une théorie. Le théorème de définissabilité de Beth établit que ces deux notions sont équivalentes[1].

Notes et références

  1. ↑ René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles  [détail des éditions], p. 210

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Ensemble définissable de Wikipédia en français (auteurs)

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