Dispositif de Peaucellier-Lipkin

Animation du mécanisme de Peaucellier-Lipkin : les barres de même couleur sont de longueur égale.

Le dispositif de Peaucellier-Lipkin est un système articulé permettant de transformer un mouvement rectiligne en mouvement circulaire, et vice-versa.

Inventé en 1864 et nommé d'après l'officier français Charles Peaucellier (1832-1913) et le lituanien Lipman Lipkin, il s'agit du premier dispositif planaire permettant une telle transformation. Il repose sur le principe géométrique de l'inversion d'un cercle.

Nom

Le système est désigné par des noms variables, « dispositif », « mécanisme », « inverseur » ou « parallélépipède ». Le nom de Charles Peaucellier est généralement présent, accolé ou non à celui de Lipman Lipkin.

Principe

Schéma du dispositif.

Le principe du dispositif est basé sur l'inversion d'un cercle.

Pour un point O du plan affine euclidien et un rapport , avec 0 < r₂ < r₁, on peut construire l'inverse géométrique, pour l'inversion de centre O et de rapport k, de tout point dans la couronne centrée en O, de rayon intérieur r₁ − r₂, et de rayon extérieur r₁ + r₂ de la façon suivante :

• Un point M dans la couronne étant donnée, il existe deux points d'intersection P et Q du cercle de centre O et de rayon r₁, et du cercle de centre M et de rayon r₂
• Puis on construit l'unique point M' tel que PMQM' soit un losange.
• L'application qui à M fait correspondre M' est bien l'inversion cherchée.

Le dispositif de Peaucellier-Lipkin est la transcription mécanique de cette inversion.

Historique

Les mécanismes permettant de transformer un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne approximatif existent depuis plusieurs siècles, mais ils nécessitent cependant des guides afin de fonctionner. Le parallélogramme de Watt, inventé par James Watt en 1784 pour sa machine à vapeur, est le premier mécanisme planaire effectuant une telle transformation uniquement à l'aide de liaisons, mais elle reste approximative.

La question de savoir s'il existe un dispositif plan permettant cette transformation est soulevée par Charles Peaucellier en 1864 dans une correspondance aux Nouvelles annales de mathématiques, mais sans en expliciter la solution^[1]. En 1868, il conçoit appareil pour mesurer les distances qu'il décrit dans le Mémorial de l'Officier du Génie^[2],[3]. En 1871, Lipman Lipkin décrit de façon indépendante le même principe dans la Revue universelle des Mines et de la Métallurgie de Liège^[4],[3]. Peaucellier est un officier du génie français. Lipkin est un juif lituanien étudiant à Saint-Pétersbourg, fils du rabbin Israël de Salant^[5].

Annexes

Liens internes

• Inverseur de Hart
• Parallélogramme de Watt
• Inversion (géométrie)

Liens externes

• (fr) Inversion de cercles.
• (en) How to draw an exact straight line
• (en) How to Draw a Straight Line
• (en) Peaucellier Linkage (applet Java)
• (en) Peaucellier Linkage (applet Java)
• (en) Peaucellier Apparatus
• (en) Straight line mechanisms

Références

Bibliographie

• Ogilvy CS, Excursions in Geometry, Dover, 1990, 46-48 p. (ISBN 0-486-26530-7) 
• Coxeter HSM, Greitzer SL, Geometry Revisited, Washington, MAA, 1967, 108-111 p. (ISBN 978-0883856192) 
• Hartenberg, R.S. & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages, pp 181-5, New York: McGraw-Hill
• Johnson RA, Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle, New York, Dover Publications, 1960, 46-51 p. (ISBN 978-0486462370) 
• Wells D, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York, Penguin Books, 1991, 120 p. (ISBN 0-14-011813-6) 

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