- Delta-anneau
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Un δ-anneau (lire delta-anneau) est un système d'ensembles dont la définition est un peu plus générale que celle des σ-algèbres (ou « tribus »). Il est possible de présenter dans ce formalisme alternatif une partie de la théorie de la mesure, plus souvent exposée dans le cadre des tribus. Ce choix a l'intérêt de permettre d'éviter l'introduction de parties de mesure infinie.
Définition[1] — Un δ-anneau sur un ensemble X est un anneau d'ensembles sur X stable par intersection dénombrable.
- Dès lors, tous les exemples donnés à l'article « σ-anneau » (et a fortiori toutes les tribus) sont aussi des exemples de δ-anneaux.
- Il existe des δ-anneaux qui ne sont pas des σ-anneaux. Un exemple simple en est, sur un ensemble X infini, la classe formée des parties finies de X.
- Cet exemple est un cas particulier d'une collection d'exemples plus générale. Pour tout espace mesuré
, l'ensemble des éléments de la tribu 
qui sont de mesure finie est un δ-anneau.
Dans l'exposition traditionnelle du théorème d'extension de Carathéodory, qui étend une mesure définie sur un anneau d'ensembles
à la tribu engendrée par celui-ci, la construction peut fournir une mesure qui n'est pas finie et donc nécessiter la considération de parties de mesure infinie. Lorsque la mesure initiale est sigma-finie, on dispose d'une alternative : il est possible d'énoncer le théorème d'extension comme fournissant une extension sur le δ-anneau engendré par et non la σ-algèbre engendrée. Ceci permet l'économie de l'introduction de la valeur +∞ dans la définition d'une mesure[3].Étant donné un δ-anneau
sur un ensemble X, on dit qu'une partie A de X est localement mesurable par rapport à lorsque :pour tout E de , 
.La classe des ensembles localement mesurables par rapport à
est une tribu. Lorsqu'on dispose d'une mesure finie μ sur on peut l'étendre à une mesure sur la tribu des ensembles localement mesurables en posant, pour tout A de cette tribu[4] :
.Références
- Vladimir Bogachev, Measure Theory, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-34513-8), p. 8
- Karen Saxe, Beginning functional analysis, Springer, 2002 (ISBN 9780387952246), exercice 3.2.1, p. 69
- Bogacev, op. cit., p. 24-25. On trouvera une présentation de la théorie de la mesure selon ce programme dans John L. Kelley et T. P. Srinivasan, Measure And Integral, Springer, 1987 (ISBN 9780387966335).
- Kelley et Srinivasan, op. cit., p. 91-92
Catégories :- Système d'ensembles
- Théorie de la mesure
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