Conjecture de Singmaster

Conjecture de Singmaster

La conjecture de Singmaster, nommée ainsi en l'honneur de David Singmaster, affirme qu'il y a une limite supérieure finie sur les mutiplicités des termes du triangle de Pascal (autre que 1 qui aurait alors une multiplicité infinie), à savoir le nombre de fois où un terme apparait dans le triangle. Il est clair que le seul nombre qui apparait une infinité de fois dans le triangle de Pascal est 1 car tout autre nombre x ne peut apparaître que dans les x + 1 premières lignes du triangle. Paul Erdős a dit que la conjecture de Singmaster était probablement vraie mais qu'elle serait très difficile à démontrer.

Soit N(a) le nombre de fois où le nombre a > 1 apparaît dans le triangle de Pascal. En notation « grand O de », la conjecture affirme que :

N(a) = O(1).\,

Résultats connus

Singmaster a montré[1] que

N(a) = O(\log a).\,

Abbot, Erdős, et Hanson[2] affinèrent l'estimation. La meilleure limite actuelle est

N(a) = O\left(\frac{(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^3}\right),\,

et est due à Daniel Kane[3].

Singmaster a montré[4] que l'équation Diophantienne

{n+1 \choose k+1} = {n \choose k+2},

a une infinité de solutions pour les deux variables n, k. Il s'en suit qu'il y a une infinité de terme de multiplicité au moins 6. Les solutions sont données par

n = F_{2i+2} F_{2i+3} - 1,\,
k = F_{2i} F_{2i+3} - 1,\,

où Fn est le nème nombre de Fibonacci (indicé selon la convention suivante : F1 = F2 = 1).

Exemples numériques

La calcul informatique permet d'affirmer que

  • 2 apparaît une seule fois ; Tout nombre plus grand apparaît plus d'une fois
  • 3, 4, 5 apparaissent 2 fois ;
  • 6 apparait 3 fois ;
  • Beaucoup de nombres apparaissent 4 fois.
  • Les nombres suivants apparaissent 6 fois :
{120 \choose 1} = {16 \choose 2} = {10 \choose 3}


{210 \choose 1} = {21 \choose 2} = {10 \choose 4}


{1540 \choose 1} = {56 \choose 2} = {22 \choose 3}


{7140 \choose 1} = {120 \choose 2} = {36 \choose 3}


{11628 \choose 1} = {153 \choose 2} = {19 \choose 5}


{24310 \choose 1} = {221 \choose 2} = {17 \choose 8}
  • Le plus petit nombre apparaissant 8 fois est 3003, qui est aussi le premier nombre de la famille infinie des nombres de Singmaster ayant une multiplicité au moins égale à 6 :
{3003 \choose 1} = {78 \choose 2} = {15 \choose 5} = {14 \choose 6}

Le nombre suivant de la famille infinie des nombres de Singmaster, et aussi le plus petit nombre suivant apparaissant 6 fois ou plus est 61 218 182 743 304 701 891 431 482 520.

  • Personne ne sait aujourd'hui si les équations N(a) = 5 et N(a) = 7 possèdent une ou plusieurs solutions.

Notes et références

  1. ↑ (en) D. Singmaster, « Research Problems: How often does an integer occur as a binomial coefficient? », dans Amer. Math. Monthly, vol. 78, no 4, 1971, p. 385–386 
  2. ↑ (en) H. L. Abbott, Paul Erdős et D. Hanson, « On the number of times an integer occurs as a binomial coefficient », dans Amer. Math. Monthly, vol. 81, no 3, 1974, p. 256–261 [lien DOI] 
  3. ↑ (en) Daniel M. Kane, « Improved bounds on the number of ways of expressing t as a binomial coefficient », dans Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, vol. 7, 2007, p. #A53 [texte intégral] 
  4. ↑ (en) D. Singmaster, « Repeated binomial coefficients and Fibonacci numbers », dans Fibonacci Quarterly, vol. 13, no 4, 1975, p. 295–298 [texte intégral] 



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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Conjecture de Singmaster de Wikipédia en français (auteurs)

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