Cohomologie cyclique

Cohomologie cyclique

En mathématiques, une algèbre A (éventuellement non-commutative) sur \mathbb{C} étant donnée, la cohomologie cyclique de A, que l'on note HC * (A), est la cohomologie du complexe (C^n_\lambda,b) où

  • C^n_\lambda est l'espace des formes n + 1-linéaires ϕ qui vérifient la condition de cyclicité :

\phi(a_0,a_1, \cdots, a_n) = (-1)^n \phi(a_1, \cdots, a_n, a_0)

  • l'opérateur b : C^n_\lambda \to C^{n+1}_\lambda est l'opérateur de cobord de Hochschild qui est donné par :

\begin{align} (b \phi)(a^0, \cdots, a^n, a^{n+1}) =& \sum_{j=0}^n (-1)^j \phi(a^0, \cdots, a^j a^{j+1}, \cdots, a^{n+1})\\ &+ (-1)^{n+1} \phi(a^{n+1} a^0, \cdots, a^n) \end{align}

Cas des petits degrés

Un 0-cocycle n'est donc rien d'autre qu'une trace. En effet, la condition de cyclicité est automatiquement vérifiée et une forme linéaire sur A est un cocycle si et seulement si (bϕ)(a0,a1) = ϕ(a0a1) − ϕ(a1a0) = 0

En conséquence, la cohomologie de Hochschild et la cohomologie cyclique sont égales en degré 0.

Références

  • (en) Alain Connes, Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994
  • (en) Jean-Louis Loday, Cyclic homology. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 301. Springer-Verlag, Berlin, 1992. Second edition 1998

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Cohomologie cyclique de Wikipédia en français (auteurs)

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