Bassins de Wada

Bassins de Wada

Lacs de Wada

Les lacs de Wada sont, en mathématiques, trois ensembles ouverts connexes disjoints du plan qui possèdent la propriété de partager tous les trois la même frontière.

Leur construction fut publiée pour la première fois par le mathématicien japonais Kunizō Yoneyama en 1917, qui crédita leur découverte à un certain Wada.

D'autres ensembles possèdent une propriété similaire, appelée propriété de Wada ; parmi eux, on trouve les bassins de Wada dans les systèmes dynamiques.

Sommaire

Construction

Kunizō Yoneyama décrivit la construction des lacs de Wada de la façon suivante :

  • Au jour 0, creuser trois lacs connexes dans le plan, en faisant attention que la terre restante possède un intérieur connexe.
  • Au jour n ≥ 1, creuser des canaux depuis chaque lac de façon que tout point de la terre soit à 1/n unité de distance de chaque lac et que la terre restante possède un intérieur connexe.

Après un nombre infini de jours, les trois lacs sont toujours des ouverts connexes disjoints et la terre restante est la frontière de chacun des trois lacs.

Bassins de Wada

Exemple de bassins d'attraction de Wada pour la méthode de Newton appliquée à z3 − 1 = 0 : les trois bassins sont des ouverts disjoints dont les frontières sont identiques.

Les bassins de Wada sont des bassins d'attraction particuliers étudiés dans les mathématiques des systèmes non-linéaires. Un bassin tel que tout voisinage de tout point de la frontière du bassin intersecte au moins trois bassins distincts est appelé un bassin de Wada.

Un exemple de bassins de Wada est donné par la méthode de Newton appliquée à un polynôme cubique possédant des racines complexes distinctes, tel z³ − 1.

De façon plus générale, en dynamique holomorphe les bords des différents bassins d'attractions sont tous égaux, ainsi, lorsque qu'une fonction holomorphe possède au moins trois bassins distincts, ce sont tous des bassins de Wada.

Autres exemples

Une réalisation concrète de lacs de Wada peut être obtenue visuellement à l'aide des réflections qui ont lieu entre trois miroirs sphèriques en contact (cf liens externes).

Voir aussi

Liens internes

Liens externes

Bibliographie

  • Olmsted Gelbaum, Counterexamples in analysis, ISBN 0486428753 (exemple 10.13).
  • Kunizō Yoneyama, Theory of Continuous Set of Points, The Tôhoku Mathematical Journal 12 : 43–158, 1917.
  • J. Kennedy et J.A. Yorke, Basins of Wada, Physica D 51 (1991), 213-225
  • Romulus Breban et H E. Nusse, On the creation of Wada basins in interval maps through fixed point tangent bifurcation (2005). Physica D-Nonlinear Phenomena. 207 (1-2), pp. 52-63. 10.1016/j.physd.2005.05.012.
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